高二函数知识点之基本性质总结

高二函数知识点之基本性质总结 知识点概述 关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌握. 知识点总结 (一)函数的有关概念 1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x) x∈A }f(x) x∈A }叫做函数的 值域. 注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能 使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组 的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零; (2) 偶次方根的被开方数不小于零; (3) 对数式的真数必须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部 分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定 的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函 数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数 值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;② 定义域一致 (两点必须同时具备) 值域补充 ( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先 考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值 域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、 换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 . 3. 函数图象知识归纳 (1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为 纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组 有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C={f(x) x∈A } P(x,y) y= f(x) , x ∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线 最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 . (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐 标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3) 作用： 1 、直观的看出函数的性质; 2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速 度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把 元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合 A、B 及对应法则 f 是 确定的;② 对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关 系一般是不同的;③ 对于映射 f：A→B 来说，则应满足：(Ⅰ))集合 A 中的每一个元素，在集 合 B 中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ))集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同 一个;(Ⅲ))不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个 图形是否是函数图象的依据; 解析法：必须注明函数的定义域; 图象法：描点法作图要注意 确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 列表法：选取的自变量要有代表性， 应能反映定义域的特征. 注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函 数值 补充一：分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须 把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值 几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 .(1)分 段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集. 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 常见考点考法 关于值域 定义域的考核是重点