高二数学必修3第一章重难点：古典概型

高二数学必修 3 第一章重难点：古典概型 高二数学必修 3 第一章重难点：古典概型 古典概型的基本概念 1.基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些 基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型 ①所有可能出现 的基本事件只有有限个; ② 每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基 本事件发生的概率都是 1，如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事件 A 发生的概率为 nP(A)?m. n 知识点一：古典概型的基本概念 例 1：从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件? 思路分析： 题意分析：本试题考查一次试验中用列举法列出所有基本事件的结果，而画树状图是 列举法的基本方法. 解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都 列出来.或者利用树状图将它们之间的关系列出来. 解答过程：解法一：所求的基本事件共 有 6 个： A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法二：树状图 解题后的思考：用树状图求解一次试验中的基本事件数比较直观、形象，可做到不重 不漏.掌握列举法，学会用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. 例 2：(1)向一个圆面内随机地投射一个点，如该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图，某同学随机地向一靶心射击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环、命 中 9 环??命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析： 题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件. 解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进行判定解决. 解答过程： 答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能 结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型 的第一个条件. (2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 7 个，而命中 10 环、命中 9 环??命中 5 环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件. 解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个方面，一是实验结果是不是有限的 ; 另一个就是每个事件是不是等可能的. 例 3：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D 四个选项中选择一 个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他 随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少? 思路分析： 题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型 .如果考生掌 握了全部或部分考查内容，这都不满足古典概型的第 2 个条件——等可能性，因此，只有 在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型. 解答过程：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有 4 个：选择 A、选择 B、选 择 C、选择 D，即基本事件共有 4 个，考生随机地选择一个答案是选择 A，B，C，D 的可 能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得： P(答对答对所包含的基本事件的个数 1==0.25 基本事件的总数 4 解题后的思考：运用古典概型的概率公式求概率时，一定要先判定 该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件 A 发生的基本事件数， 再借助于概率公式运算. 小结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理 解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第一个关键点;理解一次试验中的所有基本事 件数，和事件 A 发生的基本事件数，是解决概率问题的第二个关键点. 知识点二：古典概型的运用 例 4：同时掷两个骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? (4)为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因 吗? 思路分析： 题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路：先分析“同时掷两个骰子的所有事件数”，然后分析事件 A：向上的点数之和 为 5 的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运用举一反三的思想自行设问、解答. 解答过程： 解：(1)掷一个骰子的结果有 6 种，我们把两个骰子标上记号 1，2 以便区分，由于 1 号骰子的结果都可与 2 号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成 同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示掷 1 号骰子的结果，第二个数表示掷 2 号骰子的结果 .(可由列表法得到) 1 号骰子 2 号骰子 1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1) (6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4) (2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6) (4，6)(5，6)(6，6)123456 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种. (2)在上面的结果 中，向上的点数之和为 5 的结果有 4 种，分别为： (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) (3)由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种， 因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A 所包含的基本事件的个数 41== 基本事件的总数 369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这 时，所有可能的结果将是： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4) (3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有 21 种，和是 5 的结果有 2 个，它们 是(1，4)(2，3)，则所求的概率为 P(A)=A 所包含的基本事件的个数 2= 基本事件的总数 21 这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了.可以通过 展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考：考查同学们运用古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本 事件是否满足古典概型的第二个条件. 对于同时抛掷的问题，我们要将骰子编号，因为这样就能反映出所有的情况，不至于 把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后 抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的. 例 5：从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b1 的三件产品中，每次任取一件，每次取 出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 思路分析： 题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运用 解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“不放 回的，连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件 A 的基本事件数，利用概率公式求解. 解答过程： 解法 1：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事 件有 6 个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号 内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产品. 用 A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[(a1，b1)，(a2，b1)， (b1，a1)，(b1，a2)] 事件 A 由 4 个基本事件组成，因而 P(A)= 42= 63 解法 2：可以看作不放回 3 次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y))记录结果，则 x 有 3 种可能，y) 有 2 种可能，但(x，y))，(y)，x)是相同的，所以试验的所有结果有 3×2÷2=3 种，按同样的方法，事件 B 包含的基本事件个数为 2×1÷1=2，因此 P(B)= 2 3 解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序 的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须 一致，否则会导致错误. 例 6：从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b1 的三件产品中，每次任取一件，每次取 出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 思路分析： 题意分析：本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“有放 回的，连续的取两次”. 解答过程：每次取出一个后放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有 9 个，即 (a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1) (a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2) (b1，a1)，(b1，a2)和 (b1，b1) 其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产品. 用 A 表 示“ 取出 的两 件中 ， 恰 好有 一件 次品” 这一 事件 ，则 A=[(b1 ， a1) ， (b1， a2) ， (a2，b1)，(a1，b1)] 事件 A 由 4 个基本事件组成，因此 P(A)= 4. 9 解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不 变的，且同一个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏. 小结： (1)古典概型概率的计算公式是非常重要的一个公式，要深刻体会古典概型的概念及其 概率公式的运用，为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三：随机数产生的方法及随机模拟试验的步骤 例 7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 40%，那么在连续 三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少? 思路分析： 题意分析：本题考查的是近似计算非古典概型的概率. 解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不 能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概 率为 40%. 解答过程： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间 的取整数值的随机数. 我们用 1，2，3，4 表示投中，用 5，6，7，8，9，0 表示未投中，这样可以体现投中 的概率是 40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组. 例如：产生 20 组随机数： 812 ， 932 ， 569 ， 683 ， 271 ， 989 ， 730 ， 537 ， 925 ， 488 907，113，966，191，431，257，393，027，556，458 这就相当于做了 20 次试验，在这组数中，如果恰有两个数在 1，2，3，4 中，则表示 恰有两次投中，它们分别是 812，932，271，191，393，即共有 5 个数，我们得到了三次 投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考： (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题. (2) 对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算 器做随机模拟试验可以大大节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数. 小结：能够简单的体会模拟试验求解非古典概型概率的方法和步骤.高考对这部分内容 不作更多的要求，了解即可.5=25%. 20