高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法

高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法 一、定义法 对于“?圯”,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。在解答此类题目时,利用 定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。 例 1 已知 p:-2 分析条件 p 确定了 m,n 的范围,结论 q 则明确了方程的根的特点,且 m,n 作为系数,因此 理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简。 解设 x1,x2 是方程 x2+mx+n=0 的两个小于 1 的正根,即 0 而对于满足条件 p 的 m=-1,n=,方程 x2-x+=0 并无实根,所以 pq。 综上,可知 p 是 q 的必要但不充分条件。 点评解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出 结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断。 二、集合法 如果将命题 p,q 分别看作两个集合 A 与 B,用集合意识解释条件,则有:① 若 A?哿 B,则 x∈A 是 x∈B 的充分条件,x∈B 是 x∈A 的必要条件;② 若 A?芴 B,则 x∈A 是 x∈B 的充分不 必要条件,x∈B 是 x∈A 的必要不充分条件;③ 若 A=B,则 x∈A 和 x∈B 互为充要条件;④ 若 A? 芫 B 且 A?芸 B,则 x∈A 和 x∈B 互为既不充分也不必要条件。 例 2 设 x,y∈R,则 x2+y2<2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤的()条件,是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤<2 的()条件。 A。充要条件 B。既非充分也非必要条件 C。必要不充分条件?摇 D。充分不必要条件 解 如 右 图 所 示 , 平 面 区 域 P={(x,y)|x|+|y|≤x2+y2<2} 表 示 圆 内 部 分 ( 不 含 边 界 ); 平 面 区 域 Q={(x,y)|x|+|y|≤|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域 M={(x,y)|x|+|y|≤|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤<2}表示大正 方形内部分(不含边界)。 由于(,0)?埸 P,但(,0)∈Q,则 P?芸 Q。又 P?芫 Q,于是 x2+y2<2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤的既非充分也 非必要条件,故选 B。 同理 P?芴 M,于是 x2+y2<2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤<2 的充分不必要条件,故选 D。 点评由数想形,以形辅数,这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现。数形结合不 仅能够拓宽我们的解题思路,而且也能够提高我们的解题能力 三、逆否法 利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,将判断“p?圯 q”转化为判断 “非 q?圯非 p”的真假。 例 3(1)判断 p:x≠3 且 y≠2 是 q:x+y≠5 的什么条件; (2)判断 p:x≠3 或 y≠2 是 q:x+y≠5 的什么条件。 解(1)原命题等价于判断非 q:x+y=5 是非 p:x=3 或 y=2 的什么条件。 显然非 p 非 q,非 q 非 p,故 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 (2)原命题等价于判断非 q:x+y=5 是非 p:x=3 且 y=2 的什么条件。 因为非 p?圯非 q,但非 q 非 p,故 p 是 q 的必要不充分条件。 点评当命题含有否定词时,可考虑通过逆否命题等价转化判断。 四、筛选法 用特殊值、举反例进行验证,做出判断,从而简化解题过程。这种方法尤其适合于解选择 题。 例 4 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是() A。0 解利用特殊值验证:当 a=0 时,x=-,排除 A,D;当 a=1 时,x=-1,排除 B。因此选 C。 点评作为选择题,利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程,使解题方法更加优化,节省了 时间,提高了解题的速度,因此同学们应该注意解题方法的选择使用。 五、传递法 充分条件与必要条件具有传递性 ,即由 P1?圯 P2,P2?圯 P3,…,Pn-1?圯 Pn,可得 P1?圯 Pn。同样,充要条件也有传递性。对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件 ,两个条件间关 系的判断也可用传递法来加以处理。 例 5 已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的() A。充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件 解由题意可得 p?圯 r,r?圯 s,s?圯 q,那么可得 p?圯 r?圯 s?圯 q,即 p 是 q 的充分不必要条 件,故选 A。 点评对于两个以上的较复杂的连锁式条件,利用传递性结合符号“?圯”与“”,画出它们之间 的关系结构图进行判断,可以直观快捷地处理问题,使问题得以简单化。 1。求三个方程 x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 至少有一个方程有实根 的充要条件。