2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.2菱形

2.菱形的判定 1.用直尺和圆规作一个菱形,如 图 ,能得到四边形 ABCD 是菱形的依据是( B ) (A)一组邻边相 等的四边形是菱形 (B)四边相等的四边形是菱形 (C)对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 (D)每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 2.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形 的是( B ) (A)B A=BC (B)AC,BD 互相平分 (C)AC=BD (D)AB∥CD 3 .已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论不正确的是( D ) (A)当 AB=BC 时,它是菱形 (B)当 AC⊥BD 时,它是菱形 (C)当∠ABC=90°时 ,它是矩形 (D)当 AC=BD 时,它是菱形 4.(2018 扬州改编)如图,在平行四边形 ABCD 中,DB=DA=9,点 F 是 AB 的中点,连结 DF 并延长,交 CB 的延长线于点 E,连结 AE,则四边形 AEBD 的周长是 36 . 5.如图,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以 A 和 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于 C,D,则直线 CD 即为所求. 根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是 菱 形. 6.▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若∠BAO=∠DAO,则▱ABCD 是 菱 形. 第 6 题图 7.如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 AC⊥BD(或 AB=BC 或 BC=CD 或 CD=DA 或 AB=AD)(答案不唯一) (添加一个条件即可). 第 7 题图 8.将三角形纸片 ABC(AB>AC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,展 平纸片,如图①;再次折叠该三角形纸片,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,再次展平后连结 DE,DF,如图②. 求证:四边形 AEDF 是菱形. 证明:由第一次折叠得 AD 为∠CAB 的平分线, 所以∠1=∠2. 由第二次折叠得∠CAB=∠EDF, 所以∠3=∠4. 因为 AD=AD, 所以△AED≌△AFD. 所以 AE=AF,DE=DF. 由第二次折叠得 AE=ED,AF=DF, 所以 AE=ED=DF=AF. 所以四边形 AEDF 是菱形. 9.(2018 内江)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E,F 分别是 AB,BC 上的 点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD. 求证:(1)△AED≌△CFD; (2)四边形 ABCD 是菱形. 证明:(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以∠A=∠C. 因为 A E=CF,∠AED=∠CFD, 所以△AED≌△CFD. (2)因为△AED≌△CFD, 所 以 AD=CD. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以四边形 ABCD 是菱形. 10.已知:如图,在▱ABCD 中,O 为对角线 BD 的中点,过点 O 的直线 EF 分别交 AD,BC 于 E,F 两点,连结 BE,DF. (1)求证:△DOE≌△BOF; (2)当∠DOE 等于多少度时,四边形 BFDE 为菱形?请说明理由. (1)证明:在▱ABCD 中, 因为 AD∥BC, 所以∠ADB=∠CBD. 因为 OB=OD,∠DOE=∠BOF, 所以△DOE≌△BOF. (2)解:当∠DOE=90°时,四边形 BFDE 为菱形. 因为△DOE≌△BOF, 所以 OE=OF. 因为 OB=OD, 所以四边形 BFDE 为平行四边形. 因为∠DOE=90°, 所以 EF⊥BD, 所以▱BFDE 为菱形. 11.(拓展探究题)如图,已知△ABC,按如下步骤 作图: ① 分别以 A,C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧,两弧交于 P,Q 两点; ② 作直线 PQ,分别交 AB,AC 于点 E,D,连结 CE; ③ 过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F,连结 AF. (1)求证:△AED≌△CFD; (2)求证:四边形 AECF 是菱形. 证明:(1)根据题中作图步骤①和②可知 PQ 是 AC 的垂直平分线. 所以 CD=AD,ED⊥AC. 因为 CF∥AB, 所以∠DCF=∠DAE. 因为∠DCF=∠DAE,CD=AD, ∠CDF=∠ADE, 所以△AED≌△CFD. (2)因 为△AED≌△CFD, 所以 FD=ED,AD=CD. 所以四边形 AECF 为平行四边形. 又因为 PQ 是 AC 的垂直平分线, 所以四边形 AECF 是菱形.