2016四川高考理科数学真题及答案

2016四川高考理科数学真题及答案 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页， 共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题 卷、草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1. 设集合 A {x |  2  x 2} ，Z为整数集，则集合 A  Z 中元素的个数是（ A．3 2. B．4 C．5 6 4 ( x  i) 设 i 为虚数单位，则 的展开式中含 x 的项为（ A．  15x 3. 4. 5. 4 B． 15x 7. C．  20ix D．6 ） 4 D． 20ix 4 π  为了得到函数 y sin  2 x   的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ y sin 2 x 3  A．向左平行移动 π 个单位长度 3 B．向右平行移动 π 个单位长度 3 C．向左平行移动 π 个单位长度 6 D．向右平行移动 π 个单位长度 6 ） 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入 的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据： lg1.12 0.05 ， lg1.3 0.11 ， lg 2 0.30 ） A．2018年 6. 4 ） B．2019年 C．2020年 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的 秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序 框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若 输入n，x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ） A．9 B．18 C．20 D．35 2 2 设p：实数 x，y满足 ( x  1)  ( y  1) 2 ，q：实数x，y  y  x  1,  满足  y 1  x, 则p是q的（  y 1,  A．必要不充分条件 C．充要条件 件 ） B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条 D．2021年 8. 2 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y 2 px( p  0) 上任意一点，M是线段PF上 的点，且 | PM |2 | MF | ，则直线OM斜率的最大值为（ A． 9. 3 3 B． 2 3 C． ） 2 2 D．1  ln x, 0  x  1, 设直线 ， 分别是函数 f ( x)  图象上点 ， 处的切线， 与 垂 l1 l2 P1 P2 l1 l2 ln x, x  1, 直相交于点P，且 l1 ， l2 分别与y轴相交于点A，B，则 △ PAB 的面积的取值范围是（ ） A．  0,1 D． (1,  )   10. 在 平 面 内 ， 定 点 A ， B ， C ， D 满 足 | DA | = | DB | = | DC | ，           2 ，动点P，M满足 | AP | =1 ， ，则 | BM | 的 DA DB DB DC DC DA  2 PM MC 最大值是（ 43 A． 4 B． (0, 2) C． (0,  )  ） B． 49 4 C． 37  6 3 4 D． 37  2 33 4 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 2 11. cos π π  sin 2 = __________． 8 8 12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功， 则在2次试验中成功次数X的均值是__________． 13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该 三棱锥的体积是__________． x 14. 已知函数 f ( x) 是定义在R上的周期为2的奇函数，当 0  x  1 时， f ( x) 4 ，  5 则 f     f (1) __________.  2 15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 当 P( x, y ) 不 是 原 点 时 ， 定 义 P 的 “ 伴 随 点 ” 为  y x  P ' 2 , 2  ；当 是原点时，定义 的“伴随点”为它自身，平面曲线 上所 2 x  y x  y2   C P P 有点的“伴随点”所构成的曲线 C ' 定义为曲线 C 的“伴随曲线”，现有下列命题： ① 若点 A 的“伴随点”是点 A ' ，则点 A ' 的“伴随点”是点A； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C ' 关于 y 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤． 16. （本小题满分12分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活 用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超 过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样， 获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0, 0.5) ， [0.5, 1) ， …， [4, 4.5) 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中a的值； （II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值， 并说明理由. 频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量（吨） 17. （本小题满分12分） 在 △ ABC 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 cos A cos B sin C   . a b c （I）证明： sin A sin B sin C ； 6 2 2 2 （II）若 b  c  a  bc ，求 . tan B 5 18. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AD / / BC ， ADC PAB 90 E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 90 . （I）在平面PAB内找一点M，使得直线 CM / / 平面PBE， P 并说明理由； （II）若二面角 P  CD  A 的大小为 45 ，求直线PA与 平面PCE所成角的正弦值. 1 ， BC CD  AD ， 2 B A E C D 19. （本小题满分12分） 已知数列 {an } 的首项为 1， Sn 为数列 {an } 的前n项和， Sn 1 qSn  1 ，其中 q  0 ， n  N* . （I）若 2a2 , a3 , a2  2 成等差数列，求 an 的通项公式； y2 2 5 4n  3n （II）设双曲线 x  a 2 1 的离心率为 ，且 e2  ，证明： e1  e2   en  n  1 . en n 3 3 20. （本小题满分13分） x2 y 2 已知椭圆 E : 2  2 1(a  b  0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶 a b 点，直线 l : y  x  3 与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆E的方程及点T的坐标； （II）设O是坐标原点，直线 l ' 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线 2 l交于点P. 证明：存在常数  ，使得 | PT |  | PA | | PB | ，并求  的值. 21. （本小题满分14分） 2 设函数 f ( x) ax  a  ln x ，其中 a  R . （I）讨论 f ( x) 的单调性； （II）确定a的所有可能取值，使得 f ( x)  （ e 2.718 …为自然对数的底数）. 1 1 x  e 在区间 (1, +) 内恒成立 x 2016四川省高考理科数学试题解析 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页， 共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题 卷、草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1. 设集合 A {x |  2  x 2} ，Z为整数集，则集合 A  Z 中元素的个数是（ A．3 B．4 C．5 【答案】C 【解析】由题可知， A  Z { 2,  1, 0,1, 2} ，则 A  Z 中元素的个数为5 选C 2. 6 设 i 为虚数单位，则 ( x  i) 的展开式中含 x 4 的项为（ 4 A．  15x B． 15x 【答案】A 【解析】由题可知， 2 4 2 4 含 x 4 的项为 C6 x i  15 x 4 C．  20ix ） D．6 ） 4 D． 20ix 4 选A 3. π  为了得到函数 y sin  2 x   的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ y sin 2 x 3  A．向左平行移动 π 个单位长度 3 B．向右平行移动 π 个单位长度 3 C．向左平行移动 π 个单位长度 6 D．向右平行移动 π 个单位长度 6 【答案】D 【解析】由题可知， π   π    y sin  2 x   sin  2  x    ，则只需把 的图象向右平移 个单位 3 6 y sin 2 x      6 选D 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5； 1 分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 C3 ， 4. 4 1 4 再将剩下的4个数字排列得到 A 4 ，则满足条件的五位数有 C3 A 4 72 . 选D ）