2016北京高考理科数学真题及答案

2016 北京高考理科数学真题及答案 本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合 A= （A） B= ，则 （ ）。 （B） （C） （D） 【参考答案】C 【答案解析】集合 A {x || x | 2} {x |  2  x  2} ，而 B= A I B { 1, 0,1} ，因此可得 ，故选择 C。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺 班中均有涉及。 （2）若 x,y 满足 ，则 2x+yx+y 的最大值为（ ）。 （A）0 （B）3 （C）4 （D）5 【参考答案】C 【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值， 对应的点为（1,2），故可得最大值为 2×1+2=4，选择 C。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解， 在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【参考答案】B 【答案解析】 开始 a 1, k 0 ；第一次循环 a  第二次循环 a  2, k 1 ）。 1 , k 1 ； 2 ；第三次循环 a 1 ， 条件判断为“是”，跳出循环，此时 k 2 。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、 百日冲刺班中均有涉及。 （4）设 a,b 是向量，则“|a|=|b|a|a|=|b|=|a|=|b|b|a|=|b|”是“|a|=|b|a+b|a|=|b|=|a|=|b|a-b|a|=|b|”的（ ）。 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【参考答案】D 【答案解析】若|a|=|b|a|a|=|b|=|a|=|b|b|a|=|b|，则以|a|=|b|a|a|=|b|和|a|=|b|b|a|=|b|组成的平行四边形是菱形，而|a|=|b|a+b|a|=|b|和|a|=|b|a-b|a|=|b|分别表示菱形的对角线， 而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a|=|b|a+b|a|=|b|=|a|=|b|a-b|a|=|b|，那么以|a|=|b|a|a|=|b|和|a|=|b|b|a|=|b|组成的平行四边形为矩阵，而 矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择 D。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章 《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、 百日冲刺班中均有涉及。 （5）已知 x,y R,且 x y o，则（ （A） - （C） ）。 （B） －( 0 （D）lnx+lny 【参考答案】C 【答案解析】因为 x y 0，因此有 ＜ ，故） - ，因此 A 错误，而正弦函数在 1 2 (0，+∞)上不是单调的，所以 sin x 和 sin y 的大小是不能确定的，故 B 错误，而指数函数 y ( ) x 在 1 2 1 2 1 2 1 2 (0，+∞)上是递减的，所以 ( ) x  ( ) y ，故 ( ) x  ( ) y  0 ，因此 C 正确，而 D 选项中的 ln x  ln y ln xy ，它在(0，+∞)的正负是不确定的，故 D 错误。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺 班中均有涉及。 (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）。 （A） （B） （C） （D）1 【参考答案】A 1 2 1 2 【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为 h 1 ，底面积为 S  11  ，因此 1 3 1 6 可得体积为 V  Sh  。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百 日冲刺班中均有涉及。 (7)将函数 函数 图像上的点 P（ 的图像上，则（ ）。 ，t ）向左平移 s（s﹥0） 个单位长度得到点 P′.若 P′位于 （A）t= ，s 的最小值为 （B）t= ，s 的最小值为 （C）t= ，s 的最小值为 （D）t= ，s 的最小值为 【参考答案】A 【答案解析】由题意 P′是 P（ ，t）向左平移 s，因此可得 P '(   s, t ) ，它在 y sin 2 x 上，因此有 4     t sin 2(  s ) ，而 P 在 y sin(2 x  ) ，故可得 t sin(2   ) ，通过这两个式子，可解得 4 3 4 3 1  t  , s  ，故选择 A。 2 6 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日 冲刺班中均有涉及。 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球， 将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直 到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）。 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【参考答案】B 【答案解析】 取两个球往盒子中放有 4 种情况： ① 红+红，则乙盒中红球数加 1 个； ② 黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个； ③ 红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1 个； ④ 黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1 个． 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③ 和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响． ① 和②出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上， 选 B， 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲 刺班中均有涉及。 第二部分（非选择题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 共 110 分） （9）设 a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_______________。 【参考答案】-1 【答案解析】 (1  i)(a  i ) a  1  (a  1)i ，而它对应的点位于实轴上，因此可得 a  1 0 ，故 a  1 。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （10）在 的展开式中， 的系数为__________________.（用数字作答） 【参考答案】60 【答案解析】根据二项式定理可知， x2 的项为 C62 ( 2 x 6 ) 60 x 2 ，因此系数为 60。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百 日冲刺班中均有涉及。 （11）在极坐标系中，直线 则 与圆 =____________________. 【参考答案】2 【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算， x 交于 A，B 两点， ，圆的方程为： 3 y  1 0 x 2  y 2 2 x 即 ( x  1) 2  y 2 1 x  cos  , y  sin  ，则直线方程为：  2 cos  也就是  2 2  cos  ，转化为直角坐标系方程为： ，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|a|=|b|AB|a|=|b|为直径，故|a|=|b|AB|a|=|b|=2。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章《直线与圆》中有详细讲解，在寒假特训班、百日 冲刺班中均有涉及。 （12）已知 为等差数列， 为其前 n 项和，若 ， ，则 . 【参考答案】6 【答案解析】Q a3  a5 2a4 Q a4 0 ，Q a1 6, a4 a1  3d  d  2 ，因此可得 S 6 6a1  6 5 d 6 。 2 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺 班中均有涉及。 （13）双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双 曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________. 【参考答案】2 【答案解析】不妨设 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则图像如下图，因为 OABC 为正方形，|a|=|b|OA|a|=|b| =2，所以 c | OB |2 2, AOB  根据这两个条件可得 a 2 。  b ，又知 OA 为渐近线，故 tan AOB 1 ，而 a 2  b 2 c 2 8 ， 4 a