2019年北京高考理科数学真题及答案

2019 年北京高考理科数学真题及答案 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数 z=2+i，则 z z  （A） 3 （B） 5 （C）3 （D）5 （C）3 （D）4 （2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）1 （B）2  x 1  3t , （3）已知直线 l 的参数方程为  y 2  4t （t 为参数），则点（1，0）到直线 l 的距离是  1 （A） 5 2 （B） 5 4 （C） 5 1 x2 y 2   1 2 2 （4）已知椭圆 a （a＞b＞0）的离心率为 2 ，则 b 6 （D） 5 （A）a2=2b2 （5）若 x，y 满足 （B）3a2=4b2 | x |1  y （A）−7 （C）a=2b （D）3a=4b ，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为 （B）1 （C）5 （D）7 5 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1= 2 lg E1 E2 ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek （k=1，2）．已知太阳的星等是 −26.7，天狼星的星等是 −1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10−10.1     | AB  AC || BC | ”的 AC AB （7）设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“  （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： x 2  y 2 1 | x | y 就是其中之一（如图）．给 出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； ③ 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3． 其中，所有正确结论的序号是 （A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是__________． （10）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn 的最小值为____ ______． （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长 为 1，那么该几何体的体积为__________． （12）已知 l，m 是平面  外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m； ②m∥  ； ③l⊥  ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． （13）设函数 f（x）=ex+ae−x（a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；若 f（x）是 R 上的 增函数，则 a 的取值范围是___________． （14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果 的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ① 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为____ ______． 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 1 在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB= 2 ．  （Ⅰ）求 b，c 的值； （Ⅱ）求 sin（B–C）的值． （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P–ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E PF 1  为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 PC 3 ． （Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD； （Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值； PG 2  （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 PB 3 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由． （17）（本小题 13 分） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了 解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本 中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如 下： 支 付 金 额 （0，1000] （1000，2000] 大于 2000 仅使用 A 18 人 9人 3人 仅使用 B 10 人 14 人 1人 （元） 支付方式 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人， 发现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付 金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由． （18）（本小题 14 分） 已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． （19）（本小题 13 分） 1 f ( x)  x3  x 2  x 已知函数 ． 4 （Ⅰ）求曲线 （Ⅱ）当 （Ⅲ）设 y  f ( x) x  [ 2, 4] 的斜率为 1 的切线方程； 时，求证： x  6  f ( x)  x F ( x) | f ( x)  ( x  a) | ( a  R ) ，记 ； F ( x) 在区间 [ 2, 4] 上的最大值为 M（a）．当 M（a） 最小时，求 a 的值． （20）（本小题 13 分） 已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项（i1

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