2015年福建高考理科数学真题及答案

2015 年福建高考理科数学真题及答案 第 I 卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1、若集合 A  i, i 2 , i 3 , i 4   （ i 是虚数单位）， B  1,  1 ，则 A  B 等于 A.  1 B. 1 C. 1,  1 D.       2、下列函数为奇函数的是 A. y x B. y  sin x C. y cos x D. y e x  e  x 3、若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等 x2 y2 F1 , F2 PF1 3 PF2 E:  1 P E 9 16 于 A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x （万 元） 支出 y （万 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归本线方程 ˆ  aˆ ，其中 bˆ 0.76, aˆ  y  bx ˆ ，据此估计，该社区一户收入为 15 万 yˆ bx 元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元  x  2 y 0, 5、若变量 x, y 满足约束条件   x  y 0, 则 z 2 x  y 的最小值等于  x  2 y  2 0,  A.  5 3 B.  2 C.  D.2 2 2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 7、若 l, m C.0 D.  1 是两条不同的直线， m 垂直于平面  ，则“ ”是“ l m l / / ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若 a, b 是函数 f x x 2  px  q p  0, q  0 的两个不同的零点，且 a, b,  2 这三个数可适当排序     后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p  q 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9       AB 4 AC 9、已知 AB  AC , AB 1 , AC t ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且 AP    ，则 AB AC t    的最大值等于 PB PC A.13 B.15 10、若定义在 C.19 R D.21 上的函数 f x 满足 f 0  1 ，其导函数 f  x 满足 f  x  k  1 ，则下列结论中         一定错误的是 A. 1 1 f   k k B. 1 1 1 C.  1  f  f  k k1  k  1 k  1 D. k  1  f   k  1 k  1 第 II 卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 x  2 5 的展开式中， 2 的系数等于   x 12、若锐角 ABC 13、如图，点 A 的面积为 10 3 ，且 .（用数字作答） AB 5, AC 8 ，则 BC 等于 . 的坐标为 1, 0 ，点 的坐标为 2, 4 ，函数 f x  x 2 ，若在矩形 内随机取       C ABCD 一点，则此点取自阴影部分的概率等于 14、若函数 f  x   x  6, x 2,  3  log a x, x  2, 数 a 的取值范围是 . . （ a  0 且 a 1 ）的值域是  4,   ，则实 15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x x  x n  N * 1 2 n   ，其中 x k  k 1, 2,, n  称为第 k 位码元， 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0）  x4  x5  x6  x7 0, 已知某种二元码 x x  x 的码元满足如下校验方程组：   x2  x3  x6  x7 0, 1 2 7  x  x  x  x 0, 3 5 7  1 其中运算  定义为： 0  0 0, 0  1 1,1  0 1,1 1 0 . 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方 程组可判定 k 等于 . 16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时 ， 发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从 中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 17. 如 图 ， 在 几 何 体 ABCDE 中 ， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AB ^ 平 面 BEG ， BE ^ EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点. (1)求证：GF 平面 ADE  (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. y2 过点 ，且离心率为 2 . + =1(a >b >0) (0, 2） 2 2 a b 2 18. 已知椭圆 E： x 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 x =my - 1） ( m Î R ) 交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G (与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 9 , 0) 4 19.已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x ) =cos x 的图像经如下变换得到：先将 伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f( x) g ( x) 图像上所有点的纵坐标 p 个单位长度. 2 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (2)已知关于 的方程 x f( x) +g( x) =m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a, b 1)求实数 m 的取值范围； 2)证明： 20.已知函数 (1)证明：当 (2)证明：当 2m 2 cos( a - b) = - 1. 5 f( x) =ln(1 +x) ， g ( x) =kx, (k Î R ), x >0） ） f ( x ) 0 ,使得对 (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 ） ） x Î (0） x0 ), ） ） f( x) >g ( x)） t >0 ，对任意的 21.本题设有三个选考题，请考生任选 2 题作答. 选修 4-2：矩阵与变换 2 已知矩阵 A =æ ç æ1 1 ö 1ö ç4 3÷ ÷, B =ç ç0 - 1÷ ÷. è ø è ø (1)求 A 的逆矩阵 A- 1 ； (2)求矩阵 C，使得 AC=B. 选修 4-4：坐标系与参数方程 x Î (0） t ), 恒有 | f( x) - g ( x) |

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