2015年福建高考文科数学真题及答案

2015 年福建省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1．（5 分）（2015•福建）若（1+ii）+i（2﹣3i3i）=a+ibi（a，b∈R，i 是虚数单位）， 则 a，b 的值分别等于（ ） A 3，﹣3i2 B 3，2 C 3，﹣3i3 D ﹣3i1，4 ． ． ． ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 点 评： 复数相等的充要条件．菁优网版权所有 数系的扩充和复数． 由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得 a，b 的 值． 解：由（1+ii）+i（2﹣3i3i）=3﹣3i2i=a+ibi， 得 a=3，b=﹣3i2． 故选：A． 本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题． 2．（5 分）（2015•福建）若集合 M={x|﹣3i2≤x＜2}，N={0，1，2}，则 M∩N=（ ） A {0} B {1} C {0，1，2} D {0，1} ． ． ． ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 点 评： 交集及其运算．菁优网版权所有 集合． 直接利用交集及其运算得答案． 解：由 M={x|﹣3i2≤x＜2}，N={0，1，2}， 得 M∩N={x|﹣3i2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}． 故选：D． 本题考查了交集及其运算，是基础题． 3．（5 分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（ ） x A y= B y=e C y=cosx ． ． ． 1 D y=ex﹣3ie﹣3ix ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 点 评： 函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有 函数的性质及应用． 根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 解：A．函数的定义域为[0，+i∞），定义域关于原点不对称，故 A 为非奇非偶函 数． B．函数 y=ex 单调递增，为非奇非偶函数． C．y=cosx 为偶函数． D．f（﹣3ix）=e﹣3ix﹣3iex=﹣3i（ex﹣3ie﹣3ix）=﹣3if（x），则 f（x）为奇函数， 故选：D 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键． 4．（5 分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值 为 1，则输出 y 的值为（ ） A 2 ． B 7 ． C 8 ． 考 程序框图．菁优网版权所有 点： 专 图表型；算法和程序框图． 题： 分 析： 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 解 答： 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 若 x=1 2 D 128 ． 的值，从而得解． 的值， 不满足条件 x≥2，y=8 输出 y 的值为 8． 故选：C． 点 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基 评： 础题． 5．（5 分）（2015•福建）若直线 小值等于（ A 2 ． =1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则 a+ib 的最 ） B 3 ． C 4 ． D 5 ． 考 基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有 点： 专 不等式． 题： 分 将（1，1）代入直线得： +i =1，从而 a+ib=（ +i ）（a+ib），利用基本不等 析： 式求出即可． 解 解：∵直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，1）， 答： ∴ +i =1（a＞0，b＞0）， 所以 a+ib=（ +i ）（a+ib）=2+i +i ≥2+i2 =4， 当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号， ∴a+ib 最小值是 4， 故选：C． 点 本题考察了基本不等式的性质，求出 +i =1，得到 a+ib=（ +i ）（a+ib）是解 评： 题的关键． 6．（5 分）（2015•福建）若 sinα=﹣α=﹣3i ，则 α 为第四象限角，则 tanα=﹣α 的值等于（ ） A ． B ﹣3i ． C ． 考 同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 点： 专 三角函数的求值． 题： 3 D ﹣3i ． 分 利用同角三角函数的基本关系式求出 cosα，然后求解即可． 析： 解 解：sinα=﹣α=﹣3i ，则 α 为第四象限角，cosα= = 答： tanα=﹣α= =﹣3i ， ． 故选：D． 点 本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能 评： 力． 7．（5 分）（2015•福建）设 =（1，2）， =（1，1）， = +ik ，若 数 k 的值等于（ A ﹣3i ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： ，则实 ） B ﹣3i ． C ． D ． 数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 平面向量及应用． 由题意可得 的坐标，进而由垂直关系可得 k 的方程，解方程可得． 解：∵ =（1，2）， =（1，1）， ∴ = +ik =（1+ik，2+ik） ∵ ，∴ • =0， ∴1+ik+i2+ik=0，解得 k=﹣3i 点 评： 故选：A 本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题． 8．（5 分）（2015•福建）如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为 （1，0），且点 C 与点 D 在函数 f（x）= 的图象上，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ A ． B ． C ． 4 ） D ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： 几何概型．菁优网版权所有 概率与统计． 由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得． 解：由题意可得 B（1，0），把 x=1 代入 y=x+i1 可得 y=2，即 C（1，2）， 把 x=0 代入 y=x+i1 可得 y=1，即图中阴影三角形的第 3 个定点为（0，1）， 令 =2 可解得 x=﹣3i2，即 D（﹣3i2，2）， ∴矩形的面积 S=3×2=6，阴影三角形的面积 S′= ×3×1= ， ∴所求概率 P= 点 评： = 故选：B 本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题． 9．（5 分）（2015•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A 8+i2 ． 考 点： 专 题： 分 析： 解 答： B 11+i2 ． C 14+i2 ． D 15 ． 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 空间位置关系与距离． 判断出该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可． 解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱， 底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1， ∴侧面为（4 ）×2=8 ， 5