2014甘肃高考理科数学真题及答案

2014 甘肃高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷Ⅰ卷卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 设集合 M=｛0,1,2｝，N=  x | x 2  3 x  2≤ 0 ，则 M  N =( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2. 设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2  i ，则 z1 z2 （ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3. 设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则 a b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 钝角三角形 ABC 的面积是 1 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( ) 2 A. 5 B. C. 2 5 D. 1 5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 ） D. 0.45 6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画 出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯 体积的比值为（ 17 27 A. B. 5 9 ） C. 10 27 D. 1 3 7. 执 行 右 图 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 x,t 均 为 2 ， 则 输 出 的 S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3  x  y  7≤ 0  9. 设 x, y 满足约束条件  x  3 y  1≤ 0 ，则 z 2 x  y 的最大值为（ 3 x  y  5≥ 0  ） A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 10. 设 F 为抛物线 C: y 2 3 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点， 则△OAB 的面积为（ ） A. 3 3 B. 9 3 8 4 C. 63 32 D. 9 4 11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1， 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 1 B. 2 10 5 C. 30 10 D. 2 2 12. 设函数 f  x   3 sin  x .若存在 f  x  的极值点 x0 满足 x0 2   f  x0    m 2 ，则 m 的取值 m 2 范围是（ ） A.   ,  6    6,   B.   ,  4    4,   C.   ,  2    2,   D.   ,  1   4,   第Ⅰ卷Ⅱ卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第Ⅰ卷 13 题~第Ⅰ卷 21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第Ⅰ卷 22 题~第Ⅰ卷 24 题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题 10 13.  x  a  的展开式中， x 7 的系数为 15，则 a=________.(用数字填写答案) 14. 函数 f  x  sin  x  2   2sin  cos  x    的最大值为_________. 15. 已知偶函数 f  x  在  0,   单调递减， f  2  0 .若 f  x  1  0 ，则 x 的取值范围是______ ____. 16.设点 M（ x0 ,1），若在圆 O: x 2  y 2 1 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 x0 的取值范围是_ _______. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列  an  满足 a1 =1， an 1 3an  1 . （Ⅰ卷）证明 an  1 是等比数列，并求  an  的通项公式；  （Ⅱ卷）证明： 2  1  1  …+ 1  3 a1 a2 an 2 . 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （Ⅰ卷）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ卷）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积. 19. （本小题满分 12 分） 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （Ⅰ卷）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ卷）利用（Ⅰ卷）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化 情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： n  t  t   y  y b  i 1 i i n t  t  2 ˆ ， â  y  bt i i 1 20. （本小题满分 12 分） 2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2  2 1 a  b  0  的左右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， a b 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. （Ⅰ卷）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率； 4 （Ⅱ卷）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN 5 F1 N ，求 a,b. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f  x  = e x  e  x  2 x （Ⅰ卷）讨论 f  x  的单调性； （Ⅱ卷）设 g  x   f  2 x   4bf  x  ，当 x  0 时， g  x   0 ,求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.4142  2  1.4143 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 请考生在第Ⅰ卷 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第Ⅰ卷一题计分，做答时请 写清题号. 22.（本小题满分 10）选修 4—1：几何证明选讲 如图，P 是  O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与  O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线 交  O 于点 E.证明： （Ⅰ卷）BE=EC； （Ⅱ卷）AD DE=2 PB 2 23. （本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程 为  2 cos  ，    0,   .  2  （Ⅰ卷）求 C 的参数方程； （Ⅱ卷）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l : y  3x  2 垂直，根据（Ⅰ卷）中你得到的参数 方程，确定 D 的坐标. 24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f  x  = x  1  x  a (a  0) a （Ⅰ卷）证明： f  x  ≥ 2； （Ⅱ卷）若 f  3  5 ，求 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题 1. D 2. A 3. A 7. D 8. D 4. B 9. B 5. A 10. D 6. C 11. C 12. C 二、填空题 13. 1 2 14. 1 15. ( 1,3) 16. [ 1,1] 17.（本小题满分 12 分） （Ⅰ卷）证明：由 an 1 3an  1 得 an 1  又 a1  an  1 1 3(an  ) 2 2 1 3 1 3  ，所以 {an  } 是首项为 ，公比为 3 的等比数列 2 2 2 2 1 3n 3n  1  ，因此 {an } 的通项公式为 an  2 2 2 （Ⅱ卷）由（Ⅰ卷）知 1 2  n an 3  1 因为当 n 1 时， 3n  1 2 3n 1 ，所以 1 1  3  1 2 3n 1 n 1 1- n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3      1  1  2    n -1  3  （ 1- n （  于是  1 2 3 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 13 所以 1 1 1 1 3      a1 a2 a3 an 2 18.（本小题满分 12 分） （Ⅰ卷）证明：连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，所以 EO // PB ， EO  平面 AEC , PB  平面 AEC ，所以 PB // 平面 AEC （Ⅱ卷）因为 PA  （ （ ABCD, ABCD 为矩形，所以 AB, AD, AP 两两垂直   如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， | AP | 为单位长，建立空间直角坐标 系 A  xyz ，则 D (0, 3, 0), E (0, 3 1 3 1 ， , ), AE (0, , ) 2 2 2 2