2015年广东高考理科数学真题及答案

2015年广东高考理科数学真题及答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1、若集合   x  x  4   x  1 0 ，   x  x  4   x  1 0 ，则    （ ）   A． 1, 4    B．  1,  4    C． 0   D．  2、若复数 z i 3  2i （ 是虚数单位），则 （ ）   i z A． 2  3i B． 2  3i C． 3  2i D． 3  2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） B． y  x  A． y  1  x 2 1 x C． y 2 x  1 2x D． y  x  e x 4、袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ ） A． 5 21 5、平行于直线 B． 10 21 C． 2 x  y  1 0 且与圆 11 21 D． 1 x 2  y 2 5 A． 2 x  y  5 0 或 2 x  y  5 0 B． C． 2 x  y  5 0 或 2 x  y  5 0 D． 相切的直线的方程是（ ） 2 x  y  5 0 或 2 x  y  5 0 2x  y  或 2x  y  5 0 5 0  4 x  5 y 8 6、若变量 x ， y 满足约束条件  1  x 3 ，则 z 3 x  2 y 的最小值为（ ） 0  y 2  A． 4 7、已知双曲线 A． x 2 B． C: y2  1 4 3 23 5 C． 6 D． 31 5 5 ，且其右焦点为 的离心率 ，则双曲线 的方程为（ ） x2 y 2 F2  5, 0  e C  2 1 2 4 a b B． x 2 y2  1 9 16 C． x 2 y2  1 16 9 D． x 2 y2  1 3 4 8、若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ） A．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于 5 D．大于 5 二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．） （一）必做题（11~13 题） 9、在  4 x  1 的展开式中， x 的系数为  ． 10、在等差数列 a 中，若 a  a  a  a  a 25 ，则 a  a   n 3 4 5 6 7 2 8 ． 1 2  ，则 b  6 11、设 C 的内角  ，  ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a  3 ， sin   ， C  ． 12、某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 13、已知随机变量  服从二项分布  n, p ，若   30 ， D  20 ，则 p        ． （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极坐标方程为 l 7  ，则点 到直线 的距离为    2 2, l   4     2  sin      2 ，点  的极坐标为 4  ． 15、（几何证明选讲选做题 ）如图 1 ，已知  是圆  的直径，  4 ， C 是 圆  的 切 线 ， 切 点 为 C ， C 1 ． 过 圆 心  作 C 的 平 行 线 ， 分 别 交 C 和 C 于 点 D 和 点  ， 则 D  三、解答题 16.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量  m ( (1) 若   ，求 的值； t an x m n (2) 若  与  的夹角为  ，求 m n 3 x 的值. 17. （本小题满分 12 分） 某工厂 36 名工人年龄数据如下表 2 2   , ) , n  ( si n x, cos x) , x  (0, ) 2 2 2 ． （1） 用分成抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据 为 44，列出样本的年龄数据； （2） 计算（1）中样本的均值 （3） 36 名工人中年龄在 x x  s 和方差 和 s2 x s ； 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01％）？ 18.（本小题满分 14 分） 如 图 2 ， 三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 垂 直 ， PD  PC  4, AB  6, BC  3 ， 点 E 是 CD 的 中 点 ， 点 F、G 分 别 在 线 段 AB、BC 上 ， 且 AF  2FB, CG  2GB . (1) 证明： PE  FG ； (2) 求二面角 P  AD  C 的正切值； (3) 求直线 PA与直线 FG 所成角的余弦值. 19. （本小题满分 14 分） 设 a 1 (1) 求 ，函数 f ( x) (2) 证明 f ( x )  (1  x 2)ex  a 的单调区间； 在 f ( x ) (  , ) 上仅有一个零点； (3) 若曲线 y  f ( x) 标原点），证明： 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 m 3a  M（ m,n（ 处的切线与直线 OP 平行，（O 是坐 2 .  1 e 20. （本小题满分 14 分） 已知过原点的动直线 与圆 l (1) 求圆 C1 C1 : x 2  y 2  6x  5  0 相交于不同的两点 A、B. 的圆心坐标； (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3) 是否存在实数 k,使得直线 l : y  k( x  4) 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围； 若不存在，说明理由. 21. （本小题满分 14 分） 数列 满足： {an } (1) 求 a3 a1  2a2  . . . . . .nan  3  的值； (2) 求数列 的前 n 项和 {an } (3) 令 . n2 , n  N* n 1 2 b1  a1, bn  Tn ； Tn 1 证明：数列 的前 项和 满足 1 1 1 n {bn } Sn  (1    . . . . . .  )an( n  2) , n 2 3 n Sn  2  2l n n