2020年解放军文职招聘行测备考资料整理：何为“容斥问题”

一、基本概念

集合和集合之间相互包容和排斥的关系。

二、容斥问题的解题方法

最为常用的解题方法一般为公式法和图解法。

三、容斥问题的常见考点

1、两者容斥：

例1：某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?

A.28 B.26 C.24 D.22

【答案】D。解析：设同时参加物理、数学两科竞赛的有x人，由两者容斥公式(全集=集合A+集合B-集合A、B交集+补集)可得，30+32-x+20=60，解得 x=22。

例2：接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?

A.25 B.15 C.5 D.3

【答案】D。解析：

 

 

如图所示，88人有手机，15人有手机没电脑，则 88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人 有电脑，所以有电脑没手机有76-73=3人。

2、三者容斥：

例1：某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。该专业共有学生多少人?

A.48 B.50 C.52 D.54

【答案】B。解析：由三者容斥公式(全集=集合A+集合B+集合C-集合A、B的交集-集合B、C的交集-集合A、C的交集+集合A、B、C的交集+补集)可得，该专业共有学生40+36+30-28-26-24+20+2=50 人。

例2：联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少?

A.12 B.18 C.24 D.32

【答案】B。解析：

 

 

如图所示，根据题干信息，可完成左侧文氏图(从内往外依次填数)，易得只吃一样东西的人数是 2+6+10=18 人，故本题选 B。

3、容斥极值：

例1：在100名学生中，体育爱好者68名，音乐爱好者46名，两个都爱好的最少有多少人?

A.14 B.26 C.32 D.46

【答案】A。解析：根据容斥极值问题的求法可得，当求多个集合的交集至少有多少的时候，可利用公式：集合1+集合2+集合3+......+集合N-(N-1)×全集，所以本题中两个都爱好的最少有68+46-100=14 人。