2017军队文职行测考试：同余特性巧解不定方程

 一、同余系

整数a除以整数b，得到正余数为c,c±kb(k为自然数)均为a除以b的余数。，属同余系。例：-2,1,4,7都属于16÷3的余数。

二、同余特性

性质一：余数的和决定和的余数

例：13÷4…1，21÷4…1，余数的和为2，和为13+21=34，34÷4…2，所以说余数的和决定和的余数。

性质二：余数的差决定差的余数

例：15÷4…3，22÷4…2，余数的差为-1，差为22-15=7，7÷4…3(相当于余-1)，所以说余数的差决定差的余数。

性质三：余数的积决定积的余数

例：30÷4…2，18÷4…2，余数的积为4，积为30×18=540，540÷4…0，余数为0，余数的积为4，4÷4…0，所以说余数的积决定积的余数，而不是等于。

性质四：余数的幂决定幂的余数

例：53÷3=125÷3…2，5÷3余数为2，余数的幂为23=8，8÷3…2，所以余数的幂决定幂的余数。

三、同余特性解不定方程

例1：x+3y=100，x、y皆为整数，则x是多少?

A.41 B.42 C.43 D.44

【解析】C。3y能被3整除，100÷3…1，根据余数的和决定和的余数得x除以3余数为1，所以选择C。

例题2：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a>b，则a-b=?

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】B。8b除以8余0 ,而111÷8除以8余7，利用同余特性余数的和决定和的余数， 7a÷8余数为7，再利用余数的积决定积的余数，得到a÷8余1。正整数范围内第一个÷8余数为1的数，而题干要求a大于b，而1是最小的正整数，因此a不能等于1 ,下一个÷8余1的数为9，此时b=6，恰好满足a-b都为正整数，且a大于b ,因此a-b等于3 ,结合选项，选择B。

另解：7a÷3余a,8b÷3余-b，所以(7a+8b)÷3余数为a-b，111÷3余数为0,同余3，所以选B。