解放军文职招聘考试军队文职【岗位能力】数学运算之容斥问题解题技法

容斥是一种计数方法，它是能够避免重复和遗漏计数的一种方法。而解决容斥问题我们常借助的一种工具叫做文氏图（如下图1），方法是全集I等于每一部分的面积加和。

图1：全集I=四个部分面积的加和

那么接下来我们一起学习一下如何用文氏图解容斥问题。

一、两者容斥问题

例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，又有20个小朋友即没有穿粉上衣也没有穿蓝裤子。那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子？

解析：我们来画文氏图

如果我们用50+60，那么我们会发现，途中空白部分就被加了两次，所以要减去一次而这一部分正是我们要求的既穿粉上衣又穿蓝裤子的小朋友数量，所 以我们设这一部分为x，然后再加上外面的20就等于全集100，所以我们列式100=50+60-x+20，解得x=30即为所求。

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二、三者容斥问题

例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，40个穿红皮鞋，有30个既穿粉上衣又穿蓝裤子，有30个小 朋友既穿蓝裤子又穿红皮鞋，有30个小朋友既穿粉上衣又穿红皮鞋，又有20个小朋友什么都没穿。那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子又穿红皮鞋？

解析：我们同样先画文氏图。

我们用50+60+40，那么中间1、2、3这三个部分被加了两次，4这部分被加了3次，所以我们要把这4部分变为1层。 50+60+40-30-30-30,此时中间4这 部分的3层全部被减没了，那么我们就需要补回一层，而这一部分正好是我们要求的部分，所以设为 x，50+60+40-30-30-30+x此时计算的是三个圆的覆盖面积，再加上外面的20 就等于全集100，所以列式为 100=50+60+40-30-30-30+x+20，解得x=20即为所求。

同学们理解的怎么样？还是相对比较容易的吧！那我们就趁热打铁，一起来做一道题巩固一下吧。

例题：如图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则途中阴影部分的面积为（  ）。

A、66     B、68     C、70     D、72

 

解析：C。这道题中我们最重要的就是理解题中给出的几个数据分别代表的是哪几个部分。首先每个圆纸片的面积都是36,即图中圆A、B、C都是36， 圆纸片A与B的重叠部分即1+4两部分为7，同理得知B与C，C与A的重叠部分面积，三个圆的覆盖面积88即该图形的外围面积也就是全集为88，所以我们 要求阴影部分的面积关键是求图中4这一部分的面积。设4这部分面积为x，根据题意列式为36+36+36-7-6-9+x=88，解得x=2，所以1、 2、3、4四部分的面积和为7+6+9-2×2=18，所以阴影部分面积=88-18=70

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