2018考研数学高数考点解析:函数极限连续、微分

 

　　高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。

　　依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。

 

　　接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。

　　一、函数、极限、连续

　　高等数学在考研中，也被称为微积分学。微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。

　　在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。

　　考纲内容：

　　1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;

　　2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

　　3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;

　　4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;

　　5、数列极限与函数极限的定义及其性质;

　　6、函数的左极限和右极限;

　　7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;

　　8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;

　　9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;

　　10、函数连续的概念，函数间断点的类型;

　　11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;

　　根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。

　　二、一元函数微分学

　　一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。

　　(一)考纲内容：

　　1、导数和微分的概念：须掌握一阶导数和二阶导数的定义式;

　　2、导数的意义：

　　(1)几何意义：

　　(2)物理意义：数学(一)、(二);

　　(3)经济意义：数学(三);

　　3、函数的可导性与连续性之间的关系;

　　4、导数和微分的四则运算;

　　5、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性;

　　6、微分中值定理;

　　7、导数的应用，具体考点如下：

　　(1)平面曲线的切线和法线;

　　(2)洛必达法则;

　　(3)函数单调性的判别;

　　(4)函数的极值;

　　(5)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;

　　(6)函数图形的描绘;

　　(7)函数的最大值与最小值;

　　(8)弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径：数学(一)、(二)。

　　(二)重点及常见考点：

　　1、基本概念方面：重点有导数和微分的定义、可导与连续的关系。考生需要掌握一阶和二阶导数的定义，会利用导数的定义讨论分段函数在分段点处的可导性。

　　2、理论方面：重点是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理;这里考生要掌握通过构造辅助函数证明中值问题。

　　3、计算方面：重点是基本初等函数的导数、微分公式，导数、微分的四则运算以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式。此外，这里还要求考生会求函数的二阶导数和某些函数的n阶导数。

　　4、应用部分：重点是利用导数研究函数的性态。