2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

 

　　2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　　一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

　　(1)若函数 在 处连续，则

　　(A) (B) (C) (D)

　　(2)设函数 可导，且 则

　　(A) (B)

　　(C) (D)

　　(3)函数 在点 处沿向量 的方向导数为()

　　(A)12 (B)6 (C)4 (D)2

　　(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 (单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 (单位:s),则

　　(A) (B) (C) (D)

　　(5)设 为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

　　(A) 不可逆 (B) 不可逆

　　(C) 不可逆 (D) 不可逆

　　(6)已知矩阵 ，则

　　(A) A与C相似，B与C相似

　　(B) A与C相似，B与C不相似

　　(C) A与C不相似，B与C相似

　　(D) A与C不相似，B与C不相似

　　(7)设 为随机事件，若 ,则 的充分必要条件是()

　　A. B C. D. (8)设 来自总体 的简单随机样本，记

　　则下列结论中不正确的是：

　　(A) 服从 分布

　　(B) 服从 分布

　　(C) 服从 分布

　　(D) 服从 分布

　　二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

　　(9) 已知函数 ,则 __________

　　(10)微分方程 的通解为 __________

　　(11)若曲线积分 在区域 内与路径无关，则

　　(12)幂级数 在区间(-1,1)内的和函数

　　(13)设矩阵 ， 为线性无关的3维列向量组，则向量组 的秩为

　　(14)设随机变量X的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则EX=

　　三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　　(15)(本题满分10分)

　　设函数 具有2阶连续偏导数， ,求 ，

　　(16)(本题满分10分)

　　求

　　(17)(本题满分10分)

　　已知函数 由方程 确定，求 得极值

　　(18)(本题满分10分)

　　在 上具有2阶导数，

　　证(1) 方程 在区间 至少存在一个根

　　(2) 方程 在区间 内至少存在两个不同的实根

　　(19)(本题满分10分)

　　设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点弧度为 。记圆锥与柱面的交线为

　　(1)求 在 平面上的投影曲线的方程

　　(2)求 的质量

　　(20)(本题满分11分)

　　三阶行列式 有3个不同的特征值，且

　　(1)证明 (2)如果 求方程组 的通解

　　(21)(本题满分11分)

　　设 在正交变换 下的标准型为 求 的值及一个正交矩阵 .

　　(22)(本题满分11分)

　　设随机变量XY互独立，且 的概率分布为 ，Y概率密度为 (1)求 (2)求 的概率密度

　　(23)(本题满分11分)

　　某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量 是已知的，设n次测量结果 相互独立，且均服从正态分布 ，该工程师记录的是n次测量的绝对误差 ，利用 估计 (I)求 的概率密度

　　(II)利用一阶矩求 的矩估计量

　　(III)求 的最大似然估计量