组合

 教学目标 

　　（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；
（2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系；
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
（4）通过对排列、组合问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

 

二、重点难点分析

　　本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

　　组合与组合数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个组合，而这种集合的个数，就是相应的组合数。

　　解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）．

三、教法设计

　　1．对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系．

　　2．学生与老师可以合编一些排列组合问题，如“45人中选出5人当班干部有多少种选法？”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题．这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念．

　　为了理解排列与组合的概念，建议大家学会画排列与组合的树图．如，从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为：

排列树图　　　　　　

 

 

 

 

　　由排列树图得到，从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个，它们分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

组合树图

 

　　由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).

　　从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样组合就有了自己的树图．

　　学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式．

　　3．排列组合的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在设及排列与组合的综合问题．

　　对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．

　　4．两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是

 

　　这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的．

　　对定理2，可启发学生从下面问题的讨论得出．从n个不同元素 ， ，…， 里每次取出m个不同的元素（ ），问：（1）可以组成多少个组合；（2）在这些组合里，有多少个是不含有 的；　　（3）在这些组合里，有多少个是含有 的；（4）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理2．

　　对于 ，和 一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚．

 

 

教学设计示例

教学目标

　　（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

　　（2）使学生掌握组合数的计算公式；

　　（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；

教学重点难点

　　重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；

　　难点是解组合的应用题．

教学过程设计

（－）导入新课

　　（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．

　　［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？

　　（学生活动）讨论并回答．

　　答案提示：（1）排列；（2）组合．

　　［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．

　　设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．

（二）新课讲授

　　［提出问题 创设情境］

　　（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．

　　［字幕］1．排列的定义是什么？

　　2．举例说明一个组合是什么？

　　3．一个组合与一个排列有何区别？

　　（学生活动）阅读回答．

　　（教师活动）对照课文，逐一评析．

　　设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．

　　【归纳概括  建立新知】

　　（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．

　　［字幕］模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．

　　组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .

　　［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．

（学生活动）倾听、思索、记录．

（教师活动）提出思考问题．

［投影］ 与 的关系如何？

（师生活动）共同探讨．求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步：

　　第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ；

　　第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数为 ．

　　根据分步计数原理，得到

［字幕］公式1： 

　　公式2：

（学生活动）验算 ，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．

　　设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．

【例题示范  探求方法】

（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练．

［字幕］例1  列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合．

例2  计算：（1） ；（2） ．

（学生活动）板演、示范.

（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题．

［字幕］例3  已知 ，求 的所有值.

（学生活动）思考分析．

　　解  首先，根据组合的定义，有

　　　　 ①

　　其次，由原不等式转化为

　　　　

　　即

　　解得 ②

　　综合①、②，得 ，即

　　［点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择．

设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力．

　　【反馈练习  学会应用】

　　（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评．

　　［课堂练习］课本P99练习第2，5，6题．

　　［补充练习］

　　［字幕］1．计算：

　　2．已知 ，求 .

 （学生活动）板演、解答．

设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用．

【点评矫正  交流提高】

（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结．

补充练习答案：

　　1．解：原式：

　　2．解：由题设得

　　　　

　　整理化简得 ，

　　解之，得 或 （因 ，舍去），

　　所以 ，所求

　　［字幕］小结：

　　1．前一个公式主要用于计算具体的组合数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证．

　　2．在解含组合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件．

（学生活动）交流讨论，总结记录．

　　设计意图：由“实践——认识——一实践”的认识论，教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实．

（三）小结

（师生活动）共同小结．

本节主要内容有

　　1．组合概念．

　　2．组合数计算的两个公式．

（四）布置作业

　　1．课本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题．

　　2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？

　　3．研究性题：

　　在 的 边上除顶点 外有 5个点，在 边上有 4个点，由这些点（包括 ）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？

    （五）课后点评

    在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

    作业参考答案

    2．解；设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．

    3．能组成 （注意不能用 点为顶点）个四边形， 个三角形．

 

 

探究活动

　　同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？

　　解  设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．

　　解法一  可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：

　　甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

　　甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

　　甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．

　　解法二  可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．

　　正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有 种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有 （种）．

　　逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为   1．故符合题设要求的取法共有（种）．

　　说明（1）对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法．

　　（2）设集合 ，如果S中元素的一个排列 满足 ，则称该排列为S的一个错位排列．本例就属错位排列问题．如将S的所有错位排列数记为 ，则 有如下三个计算公式（李宇襄编著《组合数学》，北京师范大学出版社出版）：

　　①

　　②

　　③