2020辽宁军队文职备考：均值不等式巧解极值问题

1、和一定，求积最大。

由上述推论可知，当正实数a、b的和为定值时，a与b的乘积可取到最大值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

A.60 B.80 C.90 D.100

【答案】C。中公解析：总收入=售价×销量。设最佳定价在4元每株的基础上提高0.4x元，则销量会在20万株的基础上少卖x万株故。收入=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)。求收入的最大值，即求(10+x)×(20-x)的最大值。因为(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)与(20-x)的和一定，当且仅当10+x=20-x，x=5时，(10+x)×(20-x)取到最大值(10+5)×(20-5)=225，故公司最大收入为0.4×225=90万元，选C。

2、积一定，求和最小。

由上述推论可知，当正实数a、b的乘积为定值时，a与b的和可取到最小值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么要造一个深为3米容积为48立方米的无盖贮水池最低造价是多少元?

A.6460 B.7200 C.8160 D.9600

【答案】C。中公解析：水池造价=池地造价+池壁造价。水池深3米、容积48米，设长和宽分别为a、b，有底面积ab=48÷3=16平方米，池壁面积为2×(3a+3b)。因此水池造价为：16×150+2×(3a+3b)×120=2400+720×(a+b)。要求水池最低造价，即求a+b的最小值。a、b积一定为16，和a+b可取得最小值，且a=b=4时取到。因此，最低造价为2400+720×(4+4)=2400+5760=8160元，选C。

综上，应用均值不等式解极值问题，主要是对其推论的应用，难度也不大。建议各位考生需要结合上述两道例题进行学习，并将此方法熟练掌握。