一、多次相遇的定义及核心公式
直线多次相遇：两人同时相向出发并不停地在两地间往返的过程，在此过程中两人多次相遇。
环线多次相遇：两人同时同地背向出发，并不停地绕环线进行在此过程中多次相遇。
等量关系：路程=速度×时间
两人相遇走过路程之和=两人速度之和×相遇时间
二、直线上多次相遇的行程过程及规律推导
由于环线多次相遇问题与解决直线多次相遇问题的思路相同，所以在此只分析直线上的多次相遇行程过程。
甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，经过时间t在C点相遇，继续前行分别到达对方起点后立即返回，在D点第二次相遇，继续前行分别到达对方起点后返回，如此往返。
设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，第一次相遇时两人的相遇路程和就是两地间距离AB，从第一次相遇后到第二次相遇时两人共走了2倍的AB，依次类推，后面每次相遇时两人走的路程和都是2AB，所以每从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程和的比例是1：2：2：2···
由于甲乙两人的速度不变，相遇过程中速度和也始终不变，由相遇路程=两人速度之和×相遇时间，可知，从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程所用时间比例也是1：2：2：2···
同理可得，从前一次相遇到下一次相遇之间单个人甲或者乙走的总路程S甲或S乙的比例也是1：2：2：2···
那么，从最开始出发到第一次相遇两人走的路程和为AB，由上述推出，从最开始出发到第二次相遇两人走的路程和是3AB，从最开始出发到第三次相遇两人走的路程和是5AB，依次推出从最开始到第N次相遇时两人走的总路程和的比例是1：3：5：7：9···，由此总结出从最开始出发到第N次相遇时两人走的总路程是S总=（2N-1）AB （详表如下）：
所以在行程问题的多次相遇中，一定要掌握好多次相遇的具体行程过程和规律，牢记住每前一次相遇结束到下一次相遇之间两人走的路程总和、所用时间和两人分别走的路程的比例都是1：2：2：2···，从最开始出发到每一次相遇两人走的路程总和的比例是1：3：5：7：9···，在解题的过程中巧妙的应用这两个比例关系，就能轻松地解决复杂的行程问题。
三、实战演练
【例1】甲乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？
A.5 B.2 C.4 D.3
【解析】：根据题意首先明确这是一个多次相遇问题，求多次相遇问题种的相遇次数。
方法一：要求在1分50秒内两人共相遇了多少次，首先弄清楚两人从出发到第一次相遇用的时间是多少。因为两地相距30米，甲速度是37.5米/分，乙速度是52.5米/分，根据相遇时间=相遇路程/两人速度和，得到第一次相遇时间是20秒。根据前面推论得到每次相遇的时间比例关系1：2：2：2···可知，从第一次相遇后到第二次相遇经过的时间是40秒，再经过40秒后第三次相遇，所以在1分40秒时，两人相遇了三次。还剩下的10秒不可能再次相遇，所以在1分50秒内两人共相遇了三次，D为正确选项。
【例2】、一个正六边形跑道，每边长为100米，甲、乙两人分别从两个相对的顶点同时出发。沿跑道相向匀速前进。第一次相遇时甲比乙多跑了60米，问甲跑完三圈是，两人之间的直线距离是多少（ ）？
A.100米 B.150米 C.200米 D.300米
【解析】：第一次相遇时，相遇路程为100*3=300米，甲比乙多跑60米，甲的路程为180米，乙的路程为120米。甲、乙的速度比为180:120=3:2。所以当甲跑完三圈时，乙跑了两圈，刚好同时回到起点。此时，两人之间的直线距离为正六边形的对角线（边长的2倍）长度。所以答案选C。
通过上面的例题，可以发现，不管在考试中遇到什么样的题目，题目再怎么变化，只要我们理解并记住那几个结论，多次相遇问题并没有那么困难。
直线多次相遇：两人同时相向出发并不停地在两地间往返的过程，在此过程中两人多次相遇。
环线多次相遇：两人同时同地背向出发，并不停地绕环线进行在此过程中多次相遇。
等量关系：路程=速度×时间
两人相遇走过路程之和=两人速度之和×相遇时间
二、直线上多次相遇的行程过程及规律推导
由于环线多次相遇问题与解决直线多次相遇问题的思路相同，所以在此只分析直线上的多次相遇行程过程。
甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，经过时间t在C点相遇，继续前行分别到达对方起点后立即返回，在D点第二次相遇，继续前行分别到达对方起点后返回，如此往返。
设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，第一次相遇时两人的相遇路程和就是两地间距离AB，从第一次相遇后到第二次相遇时两人共走了2倍的AB，依次类推，后面每次相遇时两人走的路程和都是2AB，所以每从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程和的比例是1：2：2：2···
由于甲乙两人的速度不变，相遇过程中速度和也始终不变，由相遇路程=两人速度之和×相遇时间，可知，从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程所用时间比例也是1：2：2：2···
同理可得，从前一次相遇到下一次相遇之间单个人甲或者乙走的总路程S甲或S乙的比例也是1：2：2：2···
那么，从最开始出发到第一次相遇两人走的路程和为AB，由上述推出，从最开始出发到第二次相遇两人走的路程和是3AB，从最开始出发到第三次相遇两人走的路程和是5AB，依次推出从最开始到第N次相遇时两人走的总路程和的比例是1：3：5：7：9···，由此总结出从最开始出发到第N次相遇时两人走的总路程是S总=（2N-1）AB （详表如下）：
所以在行程问题的多次相遇中，一定要掌握好多次相遇的具体行程过程和规律，牢记住每前一次相遇结束到下一次相遇之间两人走的路程总和、所用时间和两人分别走的路程的比例都是1：2：2：2···，从最开始出发到每一次相遇两人走的路程总和的比例是1：3：5：7：9···，在解题的过程中巧妙的应用这两个比例关系，就能轻松地解决复杂的行程问题。
三、实战演练
【例1】甲乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？
A.5 B.2 C.4 D.3
【解析】：根据题意首先明确这是一个多次相遇问题，求多次相遇问题种的相遇次数。
方法一：要求在1分50秒内两人共相遇了多少次，首先弄清楚两人从出发到第一次相遇用的时间是多少。因为两地相距30米，甲速度是37.5米/分，乙速度是52.5米/分，根据相遇时间=相遇路程/两人速度和，得到第一次相遇时间是20秒。根据前面推论得到每次相遇的时间比例关系1：2：2：2···可知，从第一次相遇后到第二次相遇经过的时间是40秒，再经过40秒后第三次相遇，所以在1分40秒时，两人相遇了三次。还剩下的10秒不可能再次相遇，所以在1分50秒内两人共相遇了三次，D为正确选项。
【例2】、一个正六边形跑道，每边长为100米，甲、乙两人分别从两个相对的顶点同时出发。沿跑道相向匀速前进。第一次相遇时甲比乙多跑了60米，问甲跑完三圈是，两人之间的直线距离是多少（ ）？
A.100米 B.150米 C.200米 D.300米
【解析】：第一次相遇时，相遇路程为100*3=300米，甲比乙多跑60米，甲的路程为180米，乙的路程为120米。甲、乙的速度比为180:120=3:2。所以当甲跑完三圈时，乙跑了两圈，刚好同时回到起点。此时，两人之间的直线距离为正六边形的对角线（边长的2倍）长度。所以答案选C。
通过上面的例题，可以发现，不管在考试中遇到什么样的题目，题目再怎么变化，只要我们理解并记住那几个结论，多次相遇问题并没有那么困难。
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