2000考研数学三真题及答案

2000考研数学三真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)  (1) 设 z  f  xy ,  (2) (3)   1  x x z   g   ，其中 f , g 均可微，则  y x  y dx  e  e2 x . x 若 四 阶 矩 阵 A与 B 相 似 ， 矩 阵 A的 特 征 值 为 B 1  E  . 1 1 1 1 , , , ，则行列式 2 3 4 5 . x  [0,1] 1 3,  x  [3, 6] (4) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x )  2 9, 0 其他  2 3 若 k 使得 P{ X k}  ，则 k 的取值范围是 1, 若X  0 (5) 假设随机变量 X 在区间 [  1, 2] 上服从均匀分布，随机变量 Y  0, 若X 0   1, 若X  0  则方差 D (Y )  . 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设对任意的 x ，总有  ( x)  f ( x)  g ( x ) ，且 lim  g ( x )   ( x)  0 ，则 lim f ( x) ( x  x  ) (A)存在且一定等于零. (C)一定不存在. (B))存在但不一定等于零. (D))不一定存在. (2) 设函数 f ( x ) 在点 x a 处可导，则函数 f ( x) 在点 x a 处不可导的充分条件是 ( ) (A) f (a) 0且f (a ) 0 (B)) f (a) 0且f (a ) 0 (C) f (a )  0且f (a )  0 (D)) f (a)  0且f (a )  0 (3) 设 1 ,  2 ,  3 T 1  1， 2， 3， 4 ， 是四元非齐次线性方程组 AX b 的三个解向量，且 秩( A) 3 ， T  2   3  0,1， 2， 3 ， c 表任意常数，则线性方程组 AX b 的通解 X  ( ) 1   1  2  1 (A)    c    3  1      4  1 (4) 设 A 为 n 1   0  2 1  (B))    c    3  2      4  3 阶实矩阵， ( II ) : AT AX 0 (A) (B)) (C) (D)) ( II ) ( II ) (I ) 的解是 的解是 的解是 是 A 1   3  2  4 (D))    c    3  5      4  6 的转置矩阵，则对于线性方程组 ( I ) : AX 0 和 ，必有 ( ) (I ) (I ) 的解不是 (I ) AT 1   2  2  3 (C)    c    3  4      4  5 的解， 的解，但 ( II ) ( II ) (I ) 的解， 的解，但 的解也是 (I ) ( II ) 的解不是 ( II ) ( II ) 的解. ( II ) 的解也不是 的解不是 的解. (I ) (I ) 的解. 的解. (5) 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个 温控器显示的温度不低于临界温度 t0 ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1) T(2) T(3) T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于事件( ) (A) T t (1) 0  (B)) T t (2) 0    (C) T t (3) 0   (D)) T t (4) 0   三、(本题满分 6 分) 求微分方程 y  2 y   e 2 x 0 满足条件 y (0) 0, y(0) 1 . 四、(本题满分 6 分) 计算二重积分  D x2  y 2 4a 2  x 2  y 2 d , ，其中 D 是由曲线 y  a  a 2  x 2 (a  0) 和 直线 y  x 围成的区域 五、(本题满分 6 分) 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1 18  Q1 , P2 12  Q2 , 其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)， Q1 和 Q2 分别表示该产品 在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C 2Q  5 ，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q Q1  Q2 (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价 格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小. 六、(本题满分 7 分) 求函数  y ( x  1)e 2 arctan x 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线. 七、(本题满分 6 分) 设  4 0 n I n  sin xcosxdx, n 0,1, 2, , 求  I . n n 0 八、(本题满分 6 分) 设 函 数 f ( x) 在  0,   上 连 续 ， 且 (0,  ) 内至少存在两个不同的点   0 0  f ( x)dx 0, f ( x) cos xdx 0 ， 试 证 明 ： 在 1 ,  2 ，使 f (1 )  f ( 2 ) 0. 九、(本题满分 8 分) 设向量组， 1 (a, 2,10)T ,  2 (  2,1,5)T , 3 ( 1,1, 4)T ,  (1, b, c)T 试问 a, b, c 满 足什么条件时， (1) (2) (3)    可由 1 ,  2 ,  3 线性表出，且表示唯一？ 不能由 可由 1 ,  2 ,  3 线性表出？ 1 ,  2 ,  3 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分 9 分) 设有 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) ( x1  a1 x2 ) 2  ( x2  a2 x3 ) 2   ( xn  1  an  1 xn ) 2  ( xn  an x1 ) 2 其中 ai (i 1, 2, , n) f ( x1 , x2 , , xn ) 为实数 .试问：当 a1 , a2 , , an 满足条件时，二次型 为正定二次型. 十一、(本题满分 8 分) 假设是来自总体的简单随机样本值.已知 Y ln X 服从正态分布 (1)求 X 的数学期望 EX (记 EX 为 b ); (2)求  的置信度为 0.95 的置信区间; (3)利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间. N (  ,1) . 十二、(本题满分 8 分) 设 A, B 是二随机事件；随机变量 若A出现 1, X   1, 试证明随机变量 X 和Y 若A不出现 不相关的充分必要条件是 若B出现 1, Y   1, A与B 若B不出现 相互独立. 参考答案 一、填空题 (1)【答案】 z x  yf1 1 y f 2  2 g  y x 【详解】根据复合函数的求导公式，有 z 1  y   f1 'y  f 2 '  g '  2  x y  x  (2)【答案】  4e 【详解】被积函数的分母中含有 e x  e 2  x ，且当 x   时， e x  e 2  x   ，即被积函数 属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.   1  dx  1 e x  e2 x   1 e2   dx ex 1  dx  de x 2 2x 2 2 2x   1 1 e e e e e ex  x e 1   1  ex  1    e 1 ex  arctan e e  1 de x  2 e e2   1  ex  d  2   ex   e  1    e  1 1     (  ) e 2 4 4e (3)【答案】24 【详解】 1 1 1 1 2 3 4 5 方法 1： A  B  A、 B 有相同的特征值： ，， ， . 由矩阵 B  1 是矩阵 B 的逆矩阵，他 们所有特征值具有倒数的关系，得 B 1 有特征值 2 ,3, 4,5, 由 B 特征局矩阵为  E  B ， 1 1 B  1  E 得特征矩阵为  E   B  E      1 E  B 可以看出 B 与 B  1  E 的特 征值相差 1 ，所以 B  1  E 有特征值 1, 2 ,3, 4. 由矩阵的行列式等于其特征值得乘积， 所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知 4 B  1  E  i 1 2 3 4 24. i 1 方法 2 ： A  B 即存在可逆阵 P ，使得 P  1 AP B .两边求逆得 B  1  P  1 A 1 P .又 A 有四 个不同的特征值，存在可逆矩阵 ，使 Q 1 2    ，其中   Q  1 AQ       1 3 1 4         1  5 2    3  ， A 1 Q  1Q  1 上式两边求逆得 Q  1 A 1Q    1   4    5  从而有 B  1  E  P  1 A 1 P  E  P  1 A 1  E P  Q  1Q  1  E  Q  1  E Q 1 2    3    4    5  1   1    24  1    1  (4)【答案】 1,3 .   【 详 解 】 在 给 定 概 率 密 度 条 件 下 ， 有 性 质 P  x1  X  x2   x2   P  X k  f ( x)dx (或 P  X k  1  P  X  k  1  k 1 3 k   x1 f ( x)dx. 因 此 ， f ( x)dx. ) 2 9 因 为 x  [0,1] 时 ， f ( x)  ； x  [3, 6] 时 ， f ( x)  都 是 定 值 ， 因 为 2 P  X k    1 ，所以 k 最可能的取值区间是包含在  0, 6 区间之内的  1,3 区间，否则 3 是不可能的. 2 2 f ( x)dx  (6  3)  . (或者，当 1 k 3 时， 9 3 1 1 1 2 f ( x)dx  (1  0)  , P  X k 1  P  X  k  1   . ) 3 3 3 3 当 1 k 3 时， P  X k     k P  X  k    k