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- 分类:考研
- 发布者:郝悦皓
2008 考研数学三真题及答案
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x
(1)设函数 f ( x) 在区间 [ 1,1] 上连续,则 x 0 是函数
g ( x)
A 跳跃间断点.
B 可去间断点.
C 无穷间断点.
D 振荡间断点.
(2)曲线段方程为
a
af
y f ( x)
,函数
f ( x)
在区间
0
)
x
上有连续的导数,则定积分
( x)dx 等于( )
t
0
A 曲边梯形 ABCD 面积.
B 梯形 ABCD 面积.
C 曲边三角形 ACD 面积.
(3)已知
[0, a]
f (t )dt 的(
f ( x, y ) e
x2 y4
D 三角形 ACD 面积.
,则
(A)
f x(0, 0) , f y(0, 0) 都存在
(B)
(C)
f x(0, 0) 不存在, f y(0, 0) 不存在 (D) f x(0, 0) , f y(0, 0) 都不存在
( 4 ) 设 函 数 f 连 续 , 若 f (u , v)
Duv
f x(0, 0) 不存在, f y(0, 0) 存在
f ( x2 y2 )
x2 y2
dxdy , 其 中 Duv 为 图 中 阴 影 部 分 , 则
F
( )
u
(A) vf (u 2 )
(5)设
A
(B)
v
v
f (u 2 ) (C) vf (u ) (D) f (u )
u
u
为阶非 0 矩阵
A
E A
C
E A
(6)设 A 1
E
为阶单位矩阵若
不可逆,
可逆,
EA
EA
A3 0
,则( )
不可逆.
可逆.
B
D
E A
E A
2 则在实数域上域与 合同矩阵为( )
A
2 1
不可逆,
可逆,
EA
EA
可逆.
不可逆.
A
2 1 .
1 2
B
2 1 .
1 2
2 1 .
1 2
1 2 .
2 1
C
D
(7)随机变量 X , Y 独立同分布且 分布函数为 F x ,则 Z max X , Y 分布函数为
X
( )
A
F 2 x .
C
2
1 1 F x .
B
F x F y .
D
1 F x 1 F y .
(8)随机变量 X ~N 0,1 , Y ~N 1, 4 且相关系数 1 ,则( )
XY
A
P Y 2 X 1 1 .
B P Y 2 X 1
1 .
1 .
D P Y 2 X 1
1 .
C P Y 2 X 1
二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.
x 2 1, x c
(9)设函数 f ( x )
在 ( , ) 内连续,则 c
2
,
x
c
x
(10)设
1
x x 3 ,则 2
f (x )
2
x 1 x4
2
f ( x )dx ______
(11)设 D {( x, y ) x 2 y 2 1} ,则
( x
2
.
.
y )dxdy .
D
(12)微分方程
xy y 0
满足条件
y (1) 1
的解 y
.
(13)设 3 阶矩阵
1
A 的特征值为 1,2,2,E 为 3 阶单位矩阵,则 4 A E _____ .
(14)设随机变量
2
X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX .
三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分 10 分)
求极限 lim
x 0
1 sin x
.
ln
x2
x
(16) (本题满分 10 分)
设 z z ( x, y ) 是由方程 x 2 y 2 z x y z 所确定的函数,其中 具有 2 阶
导数且
1
时.
(1)求 dz
(2)记 u x, y 1
z z ,求 u .
x y x y
x
(17) (本题满分 11 分)
计算
max( xy,1)dxdy, 其中 D {( x, y) 0 x 2, 0 y 2} .
D
(18) (本题满分 10 分)
设 f x 是周期为 2 的连续函数,
(1)证明对任意实数 t ,有
(2)证明 G x
t 2
2
f x dx f x dx ;
t
0
x
t 2
2 f t f s ds dt 是周期为 2 的周期函数.
0
t
(19) (本题满分 10 分)
设银行存款的年利率为 r 0.05 ,并依年复利计算,某基金会希望通过存款 A 万元,
实现第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元,…,第 n 年提取(10+9n)万元,并能
按此规律一直提取下去,问 A 至少应为多少万元?
(20) (本题满分 12 分)
2a 1
2
a 2a
设 矩 阵 A
a2
, 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX B , 其 中
1
2a nn
T
X x1 , , xn , B 1, 0, , 0 ,
(1)求证 A n 1 a n ;
(2) a 为何值,方程组有唯一解;
(3) a 为何值,方程组有无穷多解.
(21)(本题满分 10 分)
设
A
为 3 阶矩阵,
Aa3 a2 a3
证明(1)
a1 , a2
为
A
的分别属于特征值
1,1
特征向量,向量
a3
满足
,
a1 , a2 , a3
线性无关;
(2)令 P a , a , a ,求 1
.
1 2 3
P AP
(22)(本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P X i
1
i 1, 0,1 , Y 的概
3
率密度为 f y 1 0 y 1 ,记
Z X Y
Y
0 其 其
(1)求 P Z 1 X 0 ;
2
(2)求 Z 的概率密度.
(23) (本题满分 11 分)
n
1
X 1 , X 2 , , X n 是 总 体 为 N ( , 2 ) 的 简 单 随 机 样 本 . 记 X X i ,
n i 1
S2
2
1 n
1
( X i X )2 , T X S 2 .
n 1 i 1
n
(1)证
(2)当
T
是
2
的无偏估计量.
0, 1
时 ,求
DT
.
参考答案
一、选择题
(1)【答案】 B
x
【详解】
lim g ( x ) lim
x 0
所以
x 0
是函数
x 0
g ( x)
f (t )dt lim f x f 0 ,
0
x
x 0
的可去间断点.
(2)【答案】 C
【详解】
a
a
0
0
xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x)
其中 af ( a ) 是矩形 ABOC 面积,
a
0
a
a
0
0
f ( x)dx af (a) f ( x)dx
a
a
0
0
f ( x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积,所以 xf ( x)dx
为曲边三角形的面积.
(3)【答案】 B
【详解】
f ( x, 0) f (0, 0)
e
f x(0, 0) lim
lim
x 0
x 0
x 0
lim
x 0
故
x 2 04
x
1
x
e 1
lim
x 0
x
,
ex 1
ex 1
ex 1
e x 1
lim
1 lim
lim
1
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
不存在.
f x(0, 0)
02 y 4
f (0, y ) f (0, 0)
e
f y(0, 0) lim
lim
y 0
y 0
y 0
y
1
2
ey 1
y2
lim
lim
0
y 0
y 0 y
y
所以 f (0, 0) 存在.故选 B .
y
(4)【答案】 A
f u 2 v2
【详解】用极坐标得
F u, v
D
u 2 v2
v
u
2
u
dudv dv f (rr ) rdr v f (r 2 )dr
0
1
1
F
vf u 2 .
u
(5)【答案】 C
所以
【详解】
故
( E A)( E A A2 ) E A3 E
E A, E A
,
( E A)( E A A2 ) E A3 E
.
均可逆.
(6)【答案】 D
【详解】记 D 1
2
又 E A 1
2
2 ,则
1 2
2
E D
1 4 ,
1
2
1
2
2
1 4 ,
1
所以 A 和 D 有相同的特征多项式,所以 A 和 D 有相同的特征值.
又 A 和 D 为同阶实对称矩阵,所以 A 和 D 相似.由于实对称矩阵相似必合同,故 D 正确.
(7)【答案】 A
【详解】 F z P Z z P max X , Y z P X z P Y z F z F z F 2 z .
Z Z Z
Z
(8)【答案】 D
【详解】 用排除法. 设
Y aX b
,由
XY
1 ,知道 X , Y 正相关,得 a 0 ,排除 A 、
C
由
X ~ N (0,1), Y ~ N (1, 4)
所以
,得
EX 0, EY 1,
E (Y ) E (aX b) aEX b a 0 b 1, 所以 b 1 . 排除 B . 故选择 D .
二、填空题
(9)【答案】1
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