2018考研数学一真题及答案

2018 考研数学一真题及答案 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1  cos x ,x 0在 x 0 处连续，则 ax  b, x 0  １．若函数 f ( x )   1 2 1 （C） ab 0 （D） ab 2 2 1 x f ( x ) b  f (0) ，要使函数 【详解】 1  cos x 1 ， xlim 2  0 lim f ( x)  lim  lim  x 0 x 0 x  0 ax ax 2a 1 1 在 x 0 处连续，必须满足 b  ab  ．所以应该选（A） 2a 2 （A） ab  （B） ab  2．设函数 f ( x) （A） 是可导函数，且满足 （B） f (1)  f ( 1) f ( x ) f ( x)  0 ，则 f (1)  f (  1) （C） f (1)  f (  1) （D） f (1)  f (  1) 【详解】设 g ( x) ( f ( x)) 2 ，则 g ( x ) 2 f ( x ) f ( x)  0 ，也就是 f ( x) 2 是单调增加函数．   也就得到 f (1) 2  f ( 1) 2  f (1)  f (  1) ，所以应该选（C）     3．函数 f ( x, y , z ) x 2 y  z 2 （A） 12 （B） 6 【详解】 f x 所以 2 xy, 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 n (1, 2, 2) 的方向导数为 （D） 2 (C） 4 f f  x 2 , 2 z ，所以函数在点 (1, 2, 0) 处的梯度为 gradf  4,1, 0  ， y z f ( x, y , z )  x 2 y  z 2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 n (1, 2, 2) 的方向导数为  f 1 应该选（D）  gradf n0  4,1, 0   (1, 2, 2) 2 3 n ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲 的速度曲线 v v1 (t ) （单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线 三块阴影部分的面积分别为 10, 20,3 ，计时开始后乙 v v2 (t ) （单位：米/秒）， 追上甲的时刻为 （A） （C） t0 ，则（ ） （B） t0 10 15  t0  20 （D） t0 25 t0  25 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时， S (t )  T2  v(t )dt T1 表 示 时 刻 T ,T 内 所 走 的 路 程 ． 本 题 中 的 阴 影 面 积 S ,  S , S 分 别 表 示 在 时 间 段  1 2 1 2 3  0,10 ,  10, 25 ,  25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t 25 时乙追上甲，应 该选（C）． 5．设  为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） （C） E   T 不可逆 E  2 T （B） 不可逆 （D） 【 详 解 】 矩 阵  T ； 3,1,1, ,1 不可逆 E  2 T 不可逆 的 特 征 值 为 E   T , E   T , E  2 T , E  2 T  1,1,1,  ,1 E   T ．显然只有 1 和 的 特 征 值 分 别 为 E   T n 1 个 0,1,1, 1 ； 0 ， 从 而 2,1,1, ,1 ； 存在零特征值，所以不可逆，应该选 （A）．  2 0 0  2 1 0  1 0 0 ，  ，   2 1  B  0 2 0  C  0 2 0  ，则   0 0 1  0 0 1  0 0 2       6．已知矩阵 A  0 （A） （C） A, C A, C 【详解】矩阵 相似， B, C 不相似， A, B 相似 B, C 相似 的特征值都是 （B） A, C （D） 相似， A, C 1 2 2, 3 1 B, C 不相似， 不相似 B, C 不相似 ．是否可对解化，只需要关心  2 的 情况． 0 0 0  对于矩阵 A ， 2 E  A  0 0  1  ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 存在两   0 0 1    个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．  0  1 0 对于矩阵 B ， 2 E  B  0 0 0  ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 只有一    0 0 1   个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B）． A, B 是两个随机事件，若 0  P( A)  1 ， 0  P( B )  1 ，则 P ( A / B)  P( A / B) 的 7．设 充分必要条件是 （A） （C） P ( B / A)  P( B / A) 【详解】由乘法公式： （D） P ( B / A)  P ( B / A) P ( B / A)  P ( B / A) P ( AB) P( B) P( A / B), P( AB ) P( B )( P( A / B) P( A / B)  P( A / B)  类似，由 （B） P ( B / A)  P( B / A) P( AB) P ( AB ) P ( A)  P ( AB )    P( AB)  P( A) P( B) P( B ) 1  P( B) P( B) P( AB) P( A) P( B / A), P( AB) P( A) P( B / A) P ( B / A)  P ( B / A)  可得下面结论： 可得 P ( AB) P ( AB ) P( B )  P ( AB)    P ( AB )  P ( A) P ( B ) P ( A) 1  P ( A) P ( A) 所以可知选择（A）． 8．设 X 1 , X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N (  ,1) 的简单随机样本，若 X 1 n  Xi ， n i 1 则下列结论中不正确的是（ ） （A） n  (X i   ) 2 服从  2 分布 i 1 （C） n  (X i  X ) 2 服从  2 分布 （B） 2  X n  X1  （D） n( X   ) 2 2 服从 服从 2 2 分布 分布 i 1 解：（1）显然 n  (X i ( X i   ) ~ N (0,1)  ( X i   ) 2 ~  2 (1), i 1, 2,  n 且相互独立，所以   ) 2 服从  2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的； i 1 （2） n  (X 2 2 i  X ) ( n  1) S  i 1 1 n （3）注意 X ~ N (  , )  (n  1) S 2 ~  2 (n  1) ，所以（C）结论也是正确的； 2  n ( X   ) ~ N (0,1)  n( X   ) 2 ~  2 (1) ，所以（D）结论 也是正确的； （ 4 ） 对 ( X n  X 1 ) ~ N (0, 2)  于 选 项 （ B ） ： X n  X1 1 ~ N (0,1)  ( X n  X 1 ) 2 ~  2 (1) ，所以（B）结论是错 2 2 误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 1 ，则 f (3) (0)  1  x2 9．已知函数 f ( x )  解：由函数的马克劳林级数公式： ．  f ( x )  n 0 展开式中 f ( n ) (0) n ，知 ( n ) ，其中 为 an x f (0) n !an n! 的系数． xn 1 1  x 2  x 4    ( 1) n x 2 n  , x    1,1 ，所以 f (3) (0) 0 ． 2 1 x 由于 f ( x )  10．微分方程 y  2 y  3 y 0 的通解为 ． 【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 的根 r  1  2i ，所以通解为 11 ． 若 曲 线 积 分 r 2  2r  3 0 有一对共共轭 y e  x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) xdx  aydy 在 区 域 内与路径无关，则 a D  ( x, y ) | x 2  y 2  1 2 2 L y 1 x . 【详解】设 P ( x, y )  x  ay ，显然 在区域内 , Q ( x, y )  2 P ( x, y ), Q( x, y ) 2 2 x y 1 x y 1 2 具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有 Q x  12．幂级数  ( 1) n 1  P  a  1 y nx n  1 在区间 ( 1,1) 内的和函数为 n 1 【详解】   ( 1) n 1 所以 s ( x)  n 1  1     x  nx n  1  (  1) n  1 ( xn )   (  1) n  1 x n     2 n 1  n1   1  x  (1  x) 1 , x  (  1,1) (1  x) 2  1 0 1 13 ． 设 矩 阵 A  1 1 2  ，  ,  ,  为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组 1 2 3    0 1 1   A1 , A 2 , A 3 的秩为 ．  1 0 1 【详解】对矩阵进行初等变换 A  1 1 2      0 1 1   秩为 2，由于 1 ,  2 ,  3 14．设随机变量 X 为线性无关，所以向量组 的分布函数 分布函数，则 EX   1 0 1    0 1 1   0 1 1   A1 , A 2 , A 3  1 0 1   ，知矩阵 A 的  0 1 1  0 0 0   的秩为 2．  x  4  ，其中 为标准正态 F ( x) 0.5 ( x)  0.5   ( x)   2  ． 【详解】随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) F ( x) 0.5 ( x)  0.25 (       E ( X )  xf ( x )dx 0.5 x ( x)dx  0.25 x (  0.25 x (  x 4 ) ，所以 2 x 4 )dx 2  x 4 )dx 0.25 2  (2t  4) (t ) dt  2  2   (t )dt 2  三、解答题 15．（本题满分 10 分） 设函数 f (u , v) 【详解】 具有二阶连续偏导数， y  f (e x , cos x) ，求 dy dx |x 0 ， d2y dx 2 |x 0 ． dy dy  f1(e x , cos x)e x  f 2(e x , cos x)(  sin x) ， |x 0  f1(1,1) ； dx dx d2y e x f1(e x , cos x)  e x ( f11(e x ,cos x)e x  sin xf12(e x , cos x))  cos xf 2(e x , cos x) 2 dx  sin xe x f 21(e x , cos x)  sin 2 xf 22 (e x , cos x) ． d2y |  f1(1,1)  f11(1,1)  f 2(1,1) 2 x 0 dx 16．（本题满分 10 分） 求 n k  k ln  1   2  n k 1 n lim  n 