2001考研数学三真题及答案

2001考研数三真题及答案 一、填空题 (1) 设生产函数为 Q  AL K  , 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为 (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以 工资总额(单位：百万元)，则 k 1 (3) 设矩阵 A  1  1 1 k 1 1 1 1 k 1 Wt Wt 表示第t 年的 满足的差分方程是___ 1 1  , 且秩(A)=3,则k = 1  k (4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫 不 等式 P X - Y 6    (5) 设总体X服从正态分布 . N (0, 0.22 ), 而 X 1 , X 2 , X 15 是来自总体X的简单随机样本，则 随 机变量 Y  X 12    X 102 服从___分布，参数为_______ 2  X 112    X 152  二、选择题 (1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又 lim x a f '( x)  1, 则( x a ) (A) x = a 是f (x)的极小值点. (B) x = a 是f (x)的极大值点. (C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点. (D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点. 1 2  2 ( x  1),0  x 1 则g(x)在区间(0,2) 内( x (2) 设函数 其中 f ( x)  , g ( x)  f (u )du , 0  1 ( x  1),1  x 2  3 (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续 )  a11 a (3) 设 A  21  a31   a41 1 0 P2  0  0 (A) 0 0 1 0 A 1 P1 P2 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14   a14  a a24  , B  24  a34 a34    a44   a44 a13 a23 a33 a43 0 1 0 0 0 0  , 其中A 可逆,则 B  1 等于( 0  1 (B) P1 A 1 P2 (C) P1 P2 A 1 (D) T  AX =α必有无穷多解  A (C )  T  ( B) a11  0  0 a21  , P1  0 a31    a41  1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0  , 0  0 ) P2 A 1 P1 (4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若秩  A (A) a12 a22 a32 a42 .  秩  (A) ，则线性方程组(  0 ) AX =α 必有惟一解.   X   A 0 仅有零解 ( D)  T    0  y     X  0 必有非零解. 0   y  (5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系 数等于( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 三 、(本题满分5 分) 设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定: x z e xy  xy 2 和 e x  0 sin t du dt , 求 t dx 四 、(本题满分6 分) f '( x) e, lim( x  c ) x lim[ f ( x)  f ( x  1)], 求c的 已知f (x)在(−∞,+∞)内可导,且 lim x  x  x c x  值. 五 、(本题满分6 分) 求二重积分 1 y[1  xe 2 ( x2  y 2 ) ]dxdy 的值,其中D 是由直线y=x, y= −1及x =1围成的平 D 面区域 六、(本题满分7 分) 已知抛物线 y  px 2  qx (其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物 线与x轴所围成的平面图形的面积为S. (1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值. 七、(本题满分6 分) 设f (x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 f (1) k 证明：存在ξ∈(0,1), 使得 1 3 0 1 x  xe f ( x )dx, (k  1). f '( )  2(1    1 ) f ( ). 八、(本题满分7 分) e n 已知 f n ( x ) 满足 f n' ( x)  f n ( x)  x n  1e x (n为正整数)且 f n (1)  , 求函数项级数  f n ( x) 之和. i 1 九、(本题满分9 分)  1 1 a  1  a 1  ,   1  . 已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求:   a 1 1    2  设矩阵 A  1 (1) a的值; (2) 正交矩阵Q,使 QT AQ 为对角矩阵. 十、(本题满分8 分) 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n， A 是 A  a ij ij   =1,2,…,n)，二次型 f ( x , x , x )  1 2 n n n  i 1 j 1 Aij A nn n n  i 1 j 1 f (X ) 的矩阵为 (2) 二次型 A 1 ij xi x j . (1) 记 A ( x , x , x ), 把 f ( x , x , x )  1 2 n 1 2 n 次型 中元素 a 的代数余子式(i,j Aij A xi x j . 写成矩阵形式，并证明二 ; g ( X )  X T AX 与 f (X ) 的规范形是否相同？说明理由. 十一、(本题满分8 分) 生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5 千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少 箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数). 十二、(本题满分8 分) 设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布， 试求随机变量U={X−Y} 的概率密度 p (u ). 参考答案 一、填空题 (1)【答案】    【使用概念】设 y  f x 在 x 处可导，且 f x 0 ，则函数 y 关于 x 的弹性在 x 处的值     为 Ey x x  y  f  x  Ex y f  x 1    【详解】由 Q  AL K  ，当 Q 1 时，即 AL K  1 ，有 于是 K 关于 L 的 K A  L  , 弹性为： EK L  K  EL K L 1    A L (2)【答案】 【详解】 Wt     1  dA L    dL 1        1   A L   L    1     A L  1.2Wt  1  2 表示第t年的工资总额，则 Wt  1 表示第 t1 年的工资总额，再根据每年的工资 总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得 Wt 满足的差分方程 是： Wt (1  20)Wt  1  2 1.2Wt  1  2 (3)【答案】-3 【详解】 方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对 A 进 行初等变换 k 1 A  1  1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1  1行 ( 1)行 行 行 行 2,3, 4行 1   k  k 1  k  1  k  1  k 1 1 1  k1 0 0  0 k1 0   0 0 k  1 1 1  k 3 1  0 k1 0 0   2,3, 4行 行 行 行 行 1行   0 0 k1 0    0 0 k  1  0 可见只有当k =−3时，r(A)=3.故k =−3. 方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式 A 0 .由 k 1 A 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1行 ( 1)行 行 行 行 2,3, 4行 1 1 k k 1 k 1 1 1 k1 0 0 0 k1 0 0 0 k1 k 3 1 1 1 0 k1 0 0 2,3, 4行 行 行 行 行 1行 (k  3)( k  1)3 0, 0 0 k1 0 0 0 0 k1 解得 k =1或k = −3. 当k =1时， 1 1 A  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1行 ( 1)行 行 行 行 2行行 3 4行 1  1 1 0  0  0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0  0  0 可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】 1 12   【所用概念性质】切比雪夫不等式为： P X  E ( X )   期望和方差的性质： E ( X  Y ) EX  EY ； D( X ) 2 D ( X  Y ) DX  2 cov( X , Y )  DY 【详解】 把 X  Y 看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 E ( X  Y ) EX  EY  2  2 0 又相关系数的定义：  ( X ,Y )  cov( X , Y ) DX DY