2003考研数学一真题及答案

2003 考研数学一真题及答案 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 (1) lim(cos x) ln(1 x 2 ) x 0  (2) 曲面 z  x 2  y 2 与平面 2 x  4 y  z 0 平行的切平面的方程是 .  2 (3) 设 x  a n cos nx(   x  ) ，则 a 2 = . n 0  1  1  1  1 (4) 从 R 2 的基  1   ,  2   到基  1   ,  2   的过渡矩阵为 . 0  1 1        2 6 x, 0  x  y 1, (5) 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y )  则 其他，  0, P{ X  Y 1}  . (6) 已知一批零件的长度 X (单位： cm cm))服从正态分布 N (  ,1) ，从中随机地抽取 16 个 零 件 ， 得 到 长 度 的 平 均 值 为 40 ( cm ) ， 则  的 置 信 度 为 0.95 的 置 信 区 间 是 . (注：标准正态分布函数值  (1.96) 0.975,  (1.645) 0.95.) 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数 f ( x ) 在 (  ,) 内连续，其导函数的图形如图所示， 则 f ( x ) 有( y ) (A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. x a n 0 , lim bn 1 , lim c n  ,则必有( (2) 设 {a n }, {bn }, {c n } 均为非负数列，且 lim n  n  n  (A) a n  bn 对任意 n 成立. a n c n 不存在. (C) 极限 lim n  (B) bn  c n 对任意 n 成立. bn c n 不存在. (D) 极限 lim n  ) (3) 已知函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续，且 lim x 0, y  0 f ( x, y )  xy 1 ，则( (x 2  y 2 )2 ) (A) 点 (0, 0) 不是 f ( x, y ) 的极值点. (B) 点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极大值点. (C) 点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点. (4) 设向量组I：  1 ,  2 ,  ,  r 可由向量组II：  1 ,  2 ,  ,  s 线性表示，则( (A) 当 r (C) 当 r  s 时，向量组II必线性相关.  s 时，向量组I必线性相关. ) (B) 当 r  s 时，向量组II必线性相关. (D) 当 r  s 时，向量组I必线性相关. (5) 设有齐次线性方程组 Ax 0 和 Bx 0 , 其中 A, B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解，则秩( A ) 秩( B )； ② 若秩( A ) 秩( B )，则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解； ③ 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，则秩( A )=秩( B )； ④ 若秩( A )=秩( B )， 则 Ax 0 与 Bx 0 同解. 以上命题中正确的是( ) (A) ① ②. (C) ② ④. (B) ① ③. (D) ③ ④. (6) 设随机变量 X ~ t ( n)(n  1), Y  (A) Y ~  2 (n) . (C) Y ~ F ( n,1) . 1 ，则( X2 ) (B) Y ~  2 ( n  1) . (D) Y ~ F (1, n) . 三 、(本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线，该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ; (2) 求 D 绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 四 、(本题满分 12 分)  (  1) n 1  2x x 将函数 f ( x) arctan 展开成 的幂级数，并求级数  的和. 1  2x n 0 2n  1 五 、(本题满分 10 分) 已知平面区域 D {( x, y ) 0  x  ,0  y  } ， L 为 D 的正向边界. 试证： (1) xe sin y (2) xe sin y L dy  ye  sin x dx  xe  sin y dy  ye sin x dx ; L L dy  ye  sin x dx 2 2 . 六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层 . 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的 阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k , k