2003考研数学三真题及答案

2003 考研数学三真题及答案 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1    x cos , 若x 0, f ( x )  x 若x 0,  0, (1) 设 其导函数在 x 0 处连续，则  的取值范围是 3 2 2 2 (2) 已知曲线 y  x  3a x  b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b  . . a, 若0  x 1, f ( x )  g ( x)  其他， 而 D 表示全平面，则 0, (3) 设 a  0 ， I   f ( x ) g ( y  x )dxdy D = . T T (4) 设 n 维向量  (a,0,  ,0, a ) , a  0 ； E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A  E   ， 1 B  E   T a ，其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a  . (5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z  X  0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 . (6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 则当 n   时， Yn  X 1 , X 2 ,  , X n 为来自总体 X 的简单随机样本， 1 n 2  Xi n i 1 依概率收敛于 . 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.  (1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 (A) 在 x 0 处左极限不存在. (B) ) 有跳跃间断点 x 0 . (C) 在 x 0 处右极限不存在. (D) ) 有可去间断点 x 0 . g ( x)  f ( x) x ( ) (x , y ) (2) 设可微函数 f ( x, y ) 在点 0 0 取得极小值，则下列结论正确的是 ( ) (A) f ( x0 , y ) (C) f ( x 0 , y ) 在 y  y 0 处的导数小于零. (D) ) f ( x 0 , y ) 在 y  y 0 处的导数不存在. pn  (3) 设 在 y  y0 an  an 2 ， 处的导数等于零. qn   (A) 若 a n 1 条件收敛，则  (B) ) 若 a n 1 绝对收敛，则 a b (C) 若 n 1 n n 1 n n 1 (D) ) 若 n 1 与 绝对收敛，则 (4) 设三阶矩阵 n n 1 q n n 1 p a A   b  b p b a b n 1 b b  a  都收敛. 都收敛.  n n 1  n 与 q n 1 n 敛散性都不定.  n 与 q n 1 n 敛散性都不定. ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 ( ) (A) a b 或 a  2b 0 . (B) ) a b 或 a  2b 0 . (C) a b 且 a  2b 0 . (D) ) a b 且 a  2b 0 . (5) 设 处的导数大于零.  p 条件收敛，则  a 与 q  n y  y0  p  a 在 ， n 1,2,  ，则下列命题正确的是 ( ) 2  n f ( x0 , y ) an  an  n (B) )  1 , 2 ,  ,  s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 ( ) (A) 若对于任意一组不全为零的数 k1 , k 2 ,  , k s ，都有 k1 1  k 2 2    k s s 0 ，则  1 , 2 ,  ,  s 线性无关. (B) ) 若  1 ,  2 ,  ,  s 线 性 相 关 ， 则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k 2 ,  , k s ， 都 有 k1 1  k 2 2    k s s 0. (C)  1 , 2 ,  ,  s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) )  1 , 2 ,  ,  s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. (6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次出 现正 面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件( ) (A) A1 , A2 , A3 相互独立. (B) ) A2 , A3 , A4 相互独立. (C) A1 , A2 , A3 (D) ) A2 , A3 , A4 两两独立. 两两独立. 三 、(本题满分 8 分) f ( x)  设 1 1 1 1 1   , x  [ ,1) [ ,1]  x sin  x  (1  x ) 2 ，试补充定义 f (1) 使得 f ( x) 在 2 上连 续. 四 、(本题满分 8 分) 设 f (u , v ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足 g ( x, y )  f [ xy, 2 f 2 f  1 u 2 v 2 ， 又 2 g 2 g 1 2  . ( x  y 2 )] 2 y 2 2 , 求 x 五 、(本题满分 8 分) 计算二重积分 I   e (x 2  y2   ) sin( x 2  y 2 )dxdy. D 其中积分区域 D {( x, y ) x 2  y 2  }. 六、(本题满分 9 分)  求幂级数 1   ( 1) n n 1 x 2n ( x  1) 2n 的和函数 f ( x) 及其极值. 七、(本题满分 9 分) 设 F ( x)  f ( x) g ( x) , 其中函数 f ( x ), g ( x) 在 (  ,) 内满足以下条件： f ( x)  g ( x) ， g ( x)  f ( x ) ，且 f (0) 0 , f ( x)  g ( x) 2e x . 求 F ( x) 所满足的一阶微分方程； 求出 F ( x) 的表达式. 八、(本题满分 8 分) 设函数 f ( x) 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且 f (0)  f (1)  f (2) 3, f (3) 1 .  试证：必存在   (0,3) ，使 f ( ) 0. 九、(本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组 (a1  b) x1  a 2 x 2  a3 x3    a n x n a x  ( a  b ) x  a x    a x 2 2 3 3 n n  1 1 a1 x1  a 2 x 2  (a3  b) x3    a n x n    a1 x1  a 2 x 2  a3 x3    (a n  b) x n n 其中 a i  0. 试讨论 i 1 0, 0, 0, 0, a1 , a 2 , , a n 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、(本题满分 13 分) 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 )  X T AX ax12  2 x 22  2 x32  2bx1 x3 (b  0) ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. 求 a, b 的值； 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为  1 , 若x  [1,8],  f ( x )  33 x 2 其他;   0, F ( X ) 是 X 的分布函数. 求随机变量 Y F ( X ) 的分布函数. 十二、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为  1 X ~   0. 3 2   0.7  ， 而 Y 的概率密度为 f ( y ) ，求随机变量 U  X  Y 的概率密度 g (u ) . 参考答案 一、填空题 (1)【答案】   2 【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】  是参变量， x 是函数 f ( x) 的自变量 f ( x )  f (0) f (0) lim lim x 0 x 0 x 0 1 x lim x   1 cos 1 0 x 0 x x ， x  cos lim x   1 0 要使该式成立，必须 x  0 ，即   1 . 当 x  ( , 0) (0, ) 时， 1 1 f ( x )  x   1 cos  x   2 sin x x  要使 f ( x ) 0 在 x 0 处连续，由函数连续的定义应有 1 1  lim f ( x) lim   x   1 cos  x   2 sin   f ( x) 0 x 0 x 0 x x   由该式得出   2 . 所以 f ( x) 在 x 0 处右连续的充要条件是   2 ． (2)【答案】 4a 6 【详解】设曲线与 x 轴相切的切点为 ( x0 ,0) ，则 y x x 0 0 2 2 2 2  . 而 y 3 x  3a ，有 3 x0 3a 3 2 又在此点 y 坐标为 0(切点在 x 轴上)，于是有 x0  3a x0  b 0 ，故 b x03  3a 2 x0 x0 ( x02  3a 2 ) ， 所以 b 2  x02 (3a 2  x 02 ) 2 a 2 4a 4 4a 6 .