2004考研数学一真题及答案

2004 考研数学一真题及答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 y=lnx 上与直线 Error: Reference source not found 垂直的切线方程为 Error: Reference source not found. 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标. 【 详 解 】 由 Error: Reference source not found ， 得 x=1, 可 见 切 点 为 Error: Reference source not found，于是所求的切线方程为 Error: Reference source not found， 即 Error: Reference source not found. 【评注】 本题也可先设切点为 Error: Reference source not found，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 Error: Reference source not found，得 Error: Reference source not found，由此可知所求切线方程为 Error: Reference source not found， 即 Error: Reference source not found. 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （ 2 ） 已 知 Error: Reference source not found ， 且 f(1)=0, 则 f(x)= Error: Reference source not found . 【分析】 先求出 Error: Reference source not found 的表达式，再积分即可. 【详解】 令 Error: Reference source not found ，则 Error: Reference source not found，于是有 Error: Reference source not found， 即 Error: Reference source not found 积分得 Error: Reference source not found. 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故 所求函数为 f(x)= Error: Reference source not found. 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （ 3 ） 设 Error: Reference source not found 为 正 向 圆 周 Error: Reference source not found 在第一象限中的部分，则曲线积分 Error: Reference source not found 的值为 Error: Reference source not found . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周 Error: Reference source not found 在第一象限中的部分，可 表示为 Error: Reference source not found 于是 Error: Reference source not found =Error: Reference source not found 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添 加的线段上用参数法化为定积分计算即可. （4）欧拉方程 Error: Reference source not foundError: Reference source not found 的通解为 Error: Reference source not found. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 Error: Reference source not found 化为常系数线性齐次微分方程即可. 【详解】 令 Error: Reference source not found，则 Error: Reference source not found， Error: Reference source not found， 代入原方程，整理得 Error: Reference source not found， 解此方程，得通解为 Error: Reference source not found 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 Error: Reference source not found，则欧拉方程 Error: Reference source not found， 可化为 Error: Reference source not found （5）设矩阵 Error: Reference source not found，矩阵 B 满足 Error: Reference source not found，其中 Error: Reference source not found 为 A 的伴随矩阵，E 是 单 位 矩 阵 ， 则 Error: Reference source not found Error: Reference source not found . 【分析】 可先用公式 Error: Reference source not found 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得 Error: Reference source not found ， 而 Error: source not found，于是有 Error: Reference source not found ， 即 Error: source not found， 再两边取行列式，有 Error: Reference source not foundError: source not found， 而 Error: Reference source not found ， 故 所 求 行 列 式 为 Error: Reference Reference Reference Reference source not found 【 评 注 】 先 化 简 再 计 算 是 此 类 问 题 求 解 的 特 点 ， 而 题 设 含 有 伴 随 矩 阵 Error: Reference source not found ， 一 般 均 应 先 利 用 公 式 Error: Reference source not found 进行化简. （6）设随机变量 X 服从参数为 Error: Reference source not found 的指数分布， 则 Error: Reference source not found= Error: Reference source not found . 【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计 算即可. 【详解】 由题设，知 Error: Reference source not found，于是 Error: Reference source not found=Error: Reference source not found =Error: Reference source not found 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再 去推算. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （ 7 ） 把 Error: Reference source not found 时 的 无 穷 小 量 Error: Reference source not found，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) Error: Reference source not found. (B) Error: Reference source not found. (C) Error: Reference source not found. (D) Error: Reference source not found. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】 Error: Reference source not found，可排除(C),(D)选项， 又 Error: Reference source not found =Error: Reference source not found ， 可见 Error: Reference source not found 是比 Error: Reference source not found 低阶的无穷小量，故应选 (B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 Error: Reference source not found 分别与 Error: Reference source not found 进行比较，再确定相互的高低次序. （ 8 ） 设 函 数 f(x) 连 续 ， 且 Error: Reference source not found 则 存 在 Error: Reference source not found，使得 (A) f(x)在（0，Error: Reference source not found 内单调增加. （B）f(x) 在 Error: Reference source not found 内单调减少. (C) 对任意的 Error: Reference source not found 有 f(x)>f(0) . (D) 对任意的 Error: Refere nce source not found 有 f(x)>f( 0) . [ C ] 【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A), (B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可. 【详解】 由导数的定义，知 Error: Reference source not found， 根 据 保 号 性 ， 知 存 在 Error: Reference source not found ， 当 Error: Reference source not found 时，有 Error: Reference source not found 即当 Error: Reference source not found 时，f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设 Error: Reference source not found 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若 Error: Reference source not found=0 ， 则 级 数 Error: Reference source not found 收敛. （ B ） 若 存 在 非 零 常 数 Error: Reference source not found ， 使 得 Error: Reference source not found，则级数 Error: Reference source not found 发散. (C) 若 级 数 Error: Reference source not found 收 敛 ， 则 Error: Reference source not found. (D) 若级数 Error: Reference source not found 发散, 则存在非零常数 Error: Reference source not found ， 使 得 Error: Reference source not found. [ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到 正确选项. 【详解】 取 Error: Reference source not found，则 Error: Reference source not found=0，但 Error: Reference source not found 发散，排除(A)，(D)； 又取 Error: Reference source not found，则级数 Error: Reference source not found 收敛，但 Error: Reference source not found，排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， Error: Reference source not found ， 而 级 数 Error: Reference source not found 发散，因此级数 Error: Reference source not found 也发散，故应选(B). （ 10 ） 设 f(x) 为 连 续 函 数 ， Error: Reference source not found ， 则 Error: Reference source not found 等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入 t=2 求 Error: Reference source not found 即可.关键是 求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t. 【详解】 交换积分次序，得 Error: Reference source not found=Error: Reference source not found 于 是， Error: Reference source not found ，从 而有 Error: Reference source not found，故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: Error: Reference source not found 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号 外或积分线上. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 (A) Error: Reference source not found. (B) Error: Reference source not found. (C) Error: Reference source not found. (D) Error: Reference source not found. [ D ] 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两 个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积. 【详解】由题设，有 Error: Reference source not found ， Error: Reference source not found， 于是， Error: Reference source not found 可见，应选(D). 【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初 等变换的关系. （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【 分 析 】 A,B 的 行 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ， 可 从 A,B 是 否 行 （ 或 列 ） 满 秩 或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论. 【 详 解 1 】 设 A 为 Error: Reference source not found 矩 阵 ， B 为 Error: Reference source not found 矩阵，则由 AB=O 知， Error: Reference source not found. 又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)

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