2004考研数学二真题及答案

2004 考研数学二真题及答案 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (n  1) x , 则 f ( x) 的间断点为 x  n   nx 2  1 (1) 设 f ( x )  lim .  x t 3  3t  1 (2) 设函数 y ( x) 由参数方程  确定, 则曲线 y  y ( x ) 向上凸的 x 取值范围 3 y  t  3 t  1  为 (3) .  1 dx x x2  1  . (4) 设函数 z  z ( x, y ) 由方程 z e 2 x  3 z  2 y 确定, 则 3 z z   x y . 6 5 (5) 微分方程 ( y  x3 )dx  2 xdy 0 满足 y x 1  的特解为 .  2 1 0   (6) 设矩阵 A  1 2 0  , 矩阵 B 满足 ABA 2 BA  E , 其中 A 为 A 的伴随矩阵, E  0 0 1   是单位矩阵, 则 B  . 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把 x  0 时的无穷小量   x x2 x 2 0 cos t dt ,   tan t dt ,   sin t 3dt 排列起 0 来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( ) (A)  ,  ,  . (B)  ,  ,  . (C)  ,  ,  . (D)  ,  ,  . (8) 设 f ( x )  x (1  x) , 则 ( ) 第 1 页 共 26 页 0 (A) x 0 是 f ( x ) 的极值点, 但 (0, 0) 不是曲线 y  f ( x ) 的拐点. (B) x 0 不是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 是曲线 y  f ( x ) 的拐点. (C) x 0 是 f ( x) 的极值点, 且 (0, 0) 是曲线 y  f ( x ) 的拐点. (D) x 0 不是 f ( x) 的极值点, (0, 0) 也不是曲线 y  f ( x ) 的拐点. n (9) lim ln n  (A) 2 1 ln (C) 2 1 2 n (1  ) 2 (1  ) 2  (1  ) 2 等于 ( ) n n n 2 xdx . (B) 2  ln(1  x)dx . (D) 2 1 2 1 ln xdx . 2 1 ln 2 (1  x )dx (10) 设函数 f ( x) 连续, 且 f (0)  0 , 则存在   0 , 使得 ( ) (A) f ( x) 在 (0,  ) 内单调增加. (B) f ( x) 在 (   , 0) 内单调减小. (C)对任意的 x  (0 ,  ) 有 f ( x)  f (0) . (D)对任意的 x  (  , 0) 有 f ( x)  f (0) . (11) 微分方程 y  y  x 2  1  sin x 的特解形式可设为 ( ) (A) y ax 2  bx  c  x ( A sin x  B cos x ) . (B) y  x(ax 2  bx  c  A sin x  B cos x ) . (C) y ax 2  bx  c  A sin x . (D) y ax 2  bx  c  A cos x  2 2  (12) 设函数 f (u ) 连续, 区域 D  ( x , y ) x  y 2 y , 则 第 2 页 共 26 页 f ( xy )dxdy 等于 ( D ) 1 1 x 2 (A)  1 (C) 0 d 0  dx  f ( xy )dy .  1 x 2 2sin  (B) 2 f (r 2 sin  cos  ) dr . 2  dy  0 (D) 2 y y2 0  f ( xy )dx . 2sin  0 d 0 f (r 2 sin  cos  ) rdr (13) 设 A 是 3 阶方阵, 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 则满足 AQ C 的可逆矩阵 Q 为 ( )  0 1 0   (A)  1 0 0  .  1 0 1    0 1 0   (B)  1 0 1  .  0 0 1    0 1 0   (C)  1 0 0  .  0 1 1    0 1 1   (D)  1 0 0  .  0 0 1   (14) 设 A , B 为满足 AB 0 的任意两个非零矩阵, 则必有 ( ) (A) A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 1 求极限 lim 3 x 0 x   2  cos x  x     1 . 3     (16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x) 在(   ,   )上有定义, 在区间 [0, 2] 上, f ( x )  x( x 2  4) , 若对任意的 x 都满足 f ( x ) k f ( x  2) , 其中 k 为常数. (I)写出 f ( x) 在 [  2, 0] 上的表达式; (II)问 k 为何值时, f ( x) 在 x 0 处可导. 第 3 页 共 26 页 (17)(本题满分 11 分) 设 f ( x)  x x  2 sin t dt , (I)证明 f ( x) 是以  为周期的周期函数; (II)求 f ( x) 的值域. (18)(本题满分 12 分) ex  e x 曲线 y  与直线 x 0, x t (t  0) 及 y 0 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 x 轴旋转一 2 周得一旋转体, 其体积为 V (t ) , 侧面积为 S (t ) , 在 x t 处的底面积为 F (t ) . (I)求 S (t ) 的值; (Ⅱ))计算极限 V (t ) lim t   S (t ) F (t ) . (19)(本题满分 12 分) 第 4 页 共 26 页 2 2 设 e  a  b  e 2 , 证明 ln b  ln a  4 (b  a ) . e2 (20)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大 阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700 km / h .经测试,减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106 ).问从着陆点算起,飞机滑 行的最长距离是多少? (注： kg 表示千克, km / h 表示千米/小时) (21)(本题满分 10 分) 设 z  f ( x 2  y 2 , e xy ) ,其中 f 具有连续二阶偏导数,求 z z 2 z . , , x y xy (22)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组 (1  a ) x1  x2  x3  x4 0,  2 x  (2  a ) x  2 x  2 x 0,  1 2 3 4  3 x1  3 x2  (3  a) x3  3 x4 0,  4 x1  4 x2  4 x3  (4  a ) x4 0, 第 5 页 共 26 页