2005考研数学一真题及答案

2005 考研数学一真题及答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） x2 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 _____________. 2x 1 1 （2）微分方程 xy   2 y  x ln x 满足 y (1)  の斜渐近线方程为 解为. ____________. 9 2 2 2  1 u x y z {1,1,1} ，则 （3）设函数 u ( x, y, z ) 1  ，单位向量 n    3 n 6 12 18 =.________. （1）曲线 y  （4）设  是由锥面 z  x2  y2 与半球面 z  R2  x2  y2 (1, 2 , 3) 围成の空间区域，の斜渐近线方程为 空间区域，  xdydz  ydzdx  zdxdy ____________. 是  の斜渐近线方程为 整个边界の外侧，则の斜渐近线方程为 外侧，则   （5）设 1 , 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1 ,  2 ,  3 ) 如果 ， B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) ， A 1 ，那么 B  の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 .. （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y 2} =____________. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出の四个选项中，只有一の斜渐近线方程为 四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）の斜渐近线方程为 字母填在题后の括号内）の斜渐近线方程为 括号内） （7）设函数 f ( x) lim n 1  x 3n ，则 f(x)在 (  ,) 内 n  (A) 处处可导. (B) ) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) ) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设 F(x)是连续函数 f(x)の斜渐近线方程为 一个原函数， " M  N " 表示“M の斜渐近线方程为 充分必要条件 是 N””，则必有 (A) F(x)是偶函数  f(x)是奇函数. （B) ） の斜渐近线方程为 F(x)是奇函数  f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数  f(x)是周期函数. (D) ) F(x)是单调函数  f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数 u ( x, y )  ( x  y )   ( x  y )  x  y (t ) dt , 其中函数  具有二阶导  x y 数， の斜渐近线方程为 具有一阶导数，则必有 (A)  2 u  2u .   x 2 y 2 (C)  2u  2u .  xy y 2 （B) ） の斜渐近线方程为  2 u  2u .  x 2 y 2 (D) )  2u  2u .  2 xy x [ ] （10）设有三元方程 xy  z ln y  e xz 1 ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の斜渐近线方程为 一 个邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数の斜渐近线方程为 隐函数 z=z(x,y). (B) ) 可确定两个具有连续偏导数の斜渐近线方程为 隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の斜渐近线方程为 隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). (D) ) 可确定两个具有连续偏导数の斜渐近线方程为 隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). （11）设 1 ， 1 ,  2 A( 1   2 ) (A) 1 0 [ 是矩阵 A の斜渐近线方程为 两个不同の特征值，对应の特征向量分别为の斜渐近线方程为 特征值，对应の特征向量分别为の斜渐近线方程为 特征向量分别为 ] 1 , 2 ，则 线性无关の充分必要条件是の斜渐近线方程为 充分必要条件是 . (B) )  2 0 . (C) 1 0 . (D) )  2 0 . [ ] （12）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A の斜渐近线方程为 第 1 行与第 2 行得矩阵 B) , A* , B * 分别为 A,B) の斜渐近线方程为 伴随矩阵，则 (A) 交换 A* の斜渐近线方程为 第 1 列与第 2 列得 B * . (B) ) 交换 A* の斜渐近线方程为 第 1 行与第 2 行得 B * . (C) 交换 A* の斜渐近线方程为 第 1 列与第 2 列得  B * . (D) ) 交换 A* の斜渐近线方程为 第 1 行与第 2 行得  B * . [ ] （13）设二维随机变量(X,Y) の斜渐近线方程为 概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 { X 0} 与 { X  Y 1} 相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) ) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) ) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设 为来自总体 N”(0,1)の斜渐近线方程为 简单随机样本， 为样本均值， X 1 , X 2 ,  , X n ( n  2) X S 2 为样本方差，则 (A) (B) ) nX ~ N (0,1) (C) ( n  1) X ~ t ( n  1) S (D) ) nS 2 ~  2 (n). ( n  1) X 12 n X ~ F (1, n  1). 2 i [ ] i 2 三 の斜渐近线方程为 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应の特征向量分别为写出の四个选项中，只有一文字说明、证明过程或演算步 骤.） （15）（本题满分 11 分） 设 D {( x, y ) x 2  y 2  2 , x 0, y 0} ， [1  x 2  y 2 ] 表示不超过 xy[1  x 2  y 2 ]dxdy. 大整数. 计算二重积分  D （16）（本题满分 12 分）  求幂级数  (  1) n 1 (1  n 1 （17）（本题满分 11 分） 1 ) x 2 n の斜渐近线方程为 收敛区间与和函数 f(x). n( 2n  1) 1 x2  y2 の斜渐近线方程为 最 如图，曲线 C の斜渐近线方程为 方程为 y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线の斜渐近线方程为 一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处の斜渐近线方程为 切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 3 ( x 2 0  x ) f ( x ) dx. （18）（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在   (0,1), の斜渐近线方程为 使得 f ( ) 1   ； （II）存在两个不同の特征值，对应の特征向量分别为の斜渐近线方程为 点  ,   (0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1. （19）（本题满分 12 分） 设函数  ( y ) 具有连续导数，在围绕原点の斜渐近线方程为 任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分  ( y ) dx  2 xydy の斜渐近线方程为 值恒为同の特征值，对应の特征向量分别为一常数.  2x 2  y 4 L （ I ） 证 明 ： 对 右 半 平 面 x>0 内 の斜渐近线方程为 任 意 分 段 光 滑 简 单 闭 曲 线 C ， 有  C  ( y ) dx  2 xydy ； 0 2 4 2x  y （II）求函数  ( y ) の斜渐近线方程为 表达式. （20）（本题满分 9 分） 已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) (1  a) x12  (1  a) x 22  2 x32  2(1  a) x1 x 2 の斜渐近线方程为 秩为 2. （I） の斜渐近线方程为 求 a の斜渐近线方程为 值； （II） の斜渐近线方程为 求正交变换 （III） の斜渐近线方程为 求方程 ，把  f ( x1 , x 2 , x3 ) f ( x1 , x 2 , x 3 ) 化成の空间区域，标准形； =0 の斜渐近线方程为 解. （21）（本题满分 9 分） 1 已知 3 阶矩阵 A の斜渐近线方程为 第一行是 ( a, b, c ), a, b, c 不全为零，矩阵 B   2  3 2 4 6 3 6  （k 为 k  常数），且 AB) =O, 求线性方程组 Ax=0 の斜渐近线方程为 通解.. （22）（本题满分 9 分） 设二维随机变量(X,Y)の斜渐近线方程为 概率密度为 1, 0  x  1,0  y  2 x, f ( x, y )   其他. 0, 求：（I） の斜渐近线方程为 (X,Y)の斜渐近线方程为 边缘概率密度 （II） Z 2 X  Y の斜渐近线方程为 概率密度 f X ( x ), f Y ( y ) ； f Z (z ). （23）（本题满分 9 分） 设 X 1 , X 2 ,  , X n (n  2) 为来自总体 N”(0,1)の斜渐近线方程为 简单随机样本， X 为样本均值，记 Yi  X i  X , i 1,2,  , n. 求：（I） の斜渐近线方程为 （II） の斜渐近线方程为 方差 Yi Y1 与 Yn DYi , i 1,2,  , n の斜渐近线方程为 协方差 ； Cov (Y1 , Yn ). 参考答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 1 1 x2 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 y  x  . 2 4 2x 1 【分析】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. （1）曲线 y  【详解】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 因为 a= lim x  f ( x) x2 1， lim 2  x   x 2x  x 2  x 1  ， x   2( 2 x  1) 4 b lim f ( x)  ax  lim x  于是所求斜渐近线方程为 y  1 1 x . 2 4 （2）微分方程 xy   2 y  x ln x 满足 y (1)  【分析】直接套用一阶线性微分方程 1 1 1 の斜渐近线方程为 解为 y  x ln x  x. . 9 3 9 の斜渐近线方程为 通解公式： y   P ( x) y Q( x)  P ( x ) dx P ( x ) dx ， y e  [ Q ( x )e  dx  C ] 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 の斜渐近线方程为 原方程等价为 y  于是通解为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 y e = 由 y (1)   2 y ln x ， x 2 x dx 2 [ ln x e dx  C ]  1 [ x 2 ln xdx  C ] 2 x 1 1 1 x ln x  x  C 2 ， 3 9 x 1 1 1 得 C=0，故所求解为 y  x ln x  x. 9 3 9 （3）设函数 u ( x, y, z ) 1  = x dx  1 u x2 y2 z 2 {1,1,1} ，则 ，单位向量 n    3 n 6 12 18 3. 3  【分析】 の斜渐近线方程为 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n {cos , cos  , cos }の斜渐近线方程为 方向导数为： u u u u  cos   cos   cos  n x y z 因此，本题直接用上述公式即可. (1, 2 , 3) 【详解】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 因为 の斜渐近线方程为 u n (1, 2 , 3) （4）设 u y u x u z  ，  ，  ，于是所求方向导数为  y 6 x 3 z 9 1 1 1 1 1 1 3 =       . 3 3 3 3 3 3 3  是由锥面 z  与半球面 x2  y2 z  R2  x2  y2 围成の空间区域，の斜渐近线方程为 空间区域，  2 )R 3 . 2 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 xdydz  ydzdx  zdxdy  2 (1  是  の斜渐近线方程为 整个边界の外侧，则の斜渐近线方程为 外侧，则   【分析】本题  面（或柱面）坐标进行计算即可. xdydz  ydzdx  zdxdy   3dxdydz 【详解】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为    =  R 0 （5）设 0 1 , 2 , 3 0 2 3 )R . 2 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1 ,  2 ,  3 ) 如果 2 3  2 d 4 sin d  d 2 (1  ， B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) A 1 ，那么 B  の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 2 ， の斜渐近线方程为 . 【分析】 の斜渐近线方程为 将 B) 写成の空间区域，用 A 右乘另一矩阵の斜渐近线方程为 形式，再用方阵相乘の斜渐近线方程为 行列式性质进行计算 即可. 【详解】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 由题设，有 B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) 1  = ( 1 ,  2 ,  3 ) 1 1 1 于是有 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 B  A 1 1 1 2 4 1 2 4 1 3 ， 9 1 3 1 2 2. 9 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 13 . 48 【分析】 の斜渐近线方程为 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式 , 且第一次试验の斜渐近线方程为 各种两两互 不相容の结果即为完备事件组或样本空间の划分の斜渐近线方程为 结果即为完备事件组或样本空间の斜渐近线方程为 划分. 【详解】 の斜渐近线方程为 の斜渐近线方程为 P{Y 2} = P{ X 1}P{Y 2 X 1} + P{ X 2}P{Y 2 X 2} + P{ X 3}P{Y 2 X 3} + P{ X 4}P{Y 2 X 4} P{Y 2} = 1 1 1 1 13 (0    )  . 4 2 3 4 48 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出の四个选项中，只有一の斜渐近线方程为 四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）の斜渐近线方程为 字母填在题后の括号内）の斜渐近线方程为 括号内） = （7）设函数 f ( x) lim n 1  x 3n ，则 f(x)在 (  ,) 内 n 