2005考研数学二真题及答案

2005 考研数学二真题及答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 y (1  sin x) x ，则 dy |x  =______ . 3 （2） 曲线 （3） (1  x) 2 的斜渐近线方程为______ . y x 1 xdx 0 2 (2  x ) 1 x 2 ______ . （4） 微分方程 xy   2 y  x ln x 满足 y (1)  （5）当 k= ______ . （6）设 x 0 时， 1 , 2 , 3  ( x ) kx 2  ( x)  1  x arcsin x  cos x 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1 ,  2 ,  3 ) 如果 与 1 的解为______ . 9 是等价无穷小，则 ， A 1 ，那么 B  B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) ， . 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 f ( x) lim n 1  x 3n ，则 f(x)在 (  ,) 内 n  (A) 处处可导. (B) ) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) ) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， " M  N " 表示“M 的充分必要条件是 N””，则必有 (A) F(x)是偶函数  f(x)是奇函数. （B) ） F(x)是奇函数  f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数  f(x)是周期函数. (D) ) F(x)是单调函数  f(x)是单调函数. [ ] 2 （9）设函数 y=y(x)由参数方程  x t  2t , 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与   y ln(1  t ) x 轴交点的横坐标是 1 ln 2  3 . 8 (C)  8 ln 2  3 . （10）设区域 (A) 1 ln 2  3 . 8 (D) ) 8 ln 2  3 . (B) )  D {( x, y ) x 2  y 2 4, x 0, y 0} [ ] ，f(x)为 D) 上的正值连续函数， a,b 1 a 为常数，则 f ( x)  b  f ( x)  D (A) ab . (B) ) f ( y) f ( y) d  ab  . (C) (a  b) . 2 a b  . 2 (D) ) [ ] （11）设函数 u ( x, y )  ( x  y )   ( x  y )  x  y (t ) dt , 其中函数  具有二阶导数，  x y  具有一阶导数，则必有 (A)  2 u  2 u . （B) ）  2 u  2u .    x 2 y 2 x 2 y 2 (C)  2u  2u .  xy y 2 1 （12）设函数 f ( x)  e (A) （B) ） (C) (D) ) （13）设 1 ,  2 A( 1   2 ) (A) x x 1 (D) )  2u  2u .  2 xy x [ ] ,则 1 x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 , 2 [ ] ，则 1 ， 线性无关的充分必要条件是 1 0 . (B) )  2 0 . (C) 1 0 . (D) )  2 0 . [ ] （14）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B) , A* , B * 分别 为 A,B) 的伴随矩阵，则 (A) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B * . (B) ) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B * . (C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得  B * . (D) ) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得  B * . [ ] 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 11 分） x 设函数 f(x)连续，且 f (0) 0 ，求极限 ( x  t ) f (t )dt . lim x  f ( x  t ) dt 0 x 0 x 0 （16）（本题满分 11 分） 1 如图， C1 和 C 2 分别是 y  (1  e x ) 和 y e x 的图象，过点(0,1)的曲线 C 3 是一 2 单调增函数的图象. 过 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 和 .记 lx ly C2 2 C1 , C 2 有 与 lx 所围图形的面积为 S1 ( x)  S 2 ( y ) ，求曲线 C3 S1 ( x ) 的方程 ； C 2 , C3 与 ly 所围图形的面积为 S 2 ( y ). 如果总 x  ( y ). （17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 3 ( x 2 0  x ) f ( x ) dx. （18）（本题满分 12 分） 用变量代换 y x 0 1, y  x cos t (0  t   ) x 0 2 化简微分方程 (1  x 2 ) y   xy   y 0 ，并求其满足 的特解. （19）（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在   (0,1), 使得 f ( ) 1   ； （II）存在两个不同的点  ,   (0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1. （20）（本题满分 10 分） 已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz 2 xdx  2 ydy ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域 D {( x, y ) x 2  y2 1} 上的最大值和最小值. 4 （21）（本题满分 9 分） x 2  y 2  1d ，其中 D {( x, y ) 0  x 1,0  y 1} . 计算二重积分  D （22）（本题满分 9 分） 确 定 常 数 a, 使 向 量 组  1 (1,1, a) T ,  2 (1, a,1) T ,  3 (a,1,1) T  1 (1,1, a ) T ,  2 ( 2, a,4) T ,  3 ( 2, a, a ) T 由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，但向量组 可由向量组 1 ,  2 ,  3 不能 线性表示. （23）（本题满分 9 分） 1 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 ( a, b, c ), a, b, c 不全为零，矩阵 B   2  3 2 4 6 3 6  （k 为 k  常数），且 AB) =O, 求线性方程组 Ax=0 的通解. 参考答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 3 （1）设 y (1  sin x) x ，则 = dy .  dx x  【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： 从而 y (1  sin x) x = e x ln(1sin x ) ，于是 cos x y  e x ln(1sin x ) [ln(1  sin x)  x  ]， 1  sin x = dy y ( ) dx  dx. x  方法二： 两边取对数， ln y  x ln(1  sin x ) ，对 x 求导，得 1 x cos x ， y  ln(1  sin x)  y 1  sin x cos x 于是 y  (1  sin x) x [ln(1  sin x)  x  ] ，故 1  sin x = dy y ( ) dx  dx. x  3 （2） 曲线 (1  x) 2 的斜渐近线方程为 y x  3 . y 2 x 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= lim x   f ( x) (1  x )  lim x   x x x 3 b  lim  f ( x)  ax  lim x   （3） 1 xdx 0 2 (2  x ) 1 x 2 1, 3 (1  x) 2  x 2 x   于是所求斜渐近线方程为 y x  3 2 x  3， 2 3 . 2   . 4 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令 x sin t ，则 1 xdx 0 2 (2  x ) 1 x = 2   2 0 sin t cos t dt 2 t ) cos t  (2  sin  2 0 d cos t  1  cos 2 t  arctan(cos t ) （4） 微分方程 xy   2 y  x ln x 满足 y (1)  【分析】直接套用一阶线性微分方程  2 0   . 4 1 1 1 的解为 y  x ln x  x. . 9 3 9 的通解公式： y   P ( x) y Q( x) 4  P ( x ) dx P ( x ) dx ， y e  [ Q ( x )e  dx  C ] 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y  于是通解为 y e =  2 y ln x ， x 2 x dx 2 [ ln x e x dx dx  C ]  1 [ x 2 ln xdx  C ] 2 x 1 1 1 x ln x  x  C 2 ， 3 9 x 1 1 1 得 C=0，故所求解为 y  x ln x  x. 9 3 9 （5）当 时， 与  ( x ) kx 2  ( x)  1  x arcsin x  x 0 由 y (1)  cos x 是等价无穷小，则 3 . 4 k= 【分析】 题设相当于已知 lim x 0 【详解】 由题设， lim x 0 = lim x 0 cos x 2 x arcsin x  1  cos x 3 1 3 lim  1 ，得 k  . 2 2k x  0 4 4k x 均为 3 维列向量，记矩阵 1 , 2 , 3 A ( 1 ,  2 ,  3 ) 如果  ( x) 1  x arcsin x  lim x  0  ( x) kx 2 x arcsin x  1  cos x kx ( 1  x arcsin x  cos x ) = （6）设  ( x) 1 ，由此确定 k 即可.  ( x) ， A 1 ，那么 B  B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) ， 2 . 【分析】 将 B) 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 B  ( 1   2   3 ,  1  2 2  4 3 ,  1  3 2  9 3 ) 1  = ( 1 ,  2 ,  3 ) 1 1 于是有 1 B  A 1 1 1 2 4 1 2 4 1 3 ， 9 1 3 1 2 2. 9 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 5