2006考研数学一真题及答案

2006 考研数学一真题及答案 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) x ln(1  x) .  x  0 1  cos x y (1  x) (2)微分方程 y  の通解是 x (1) lim . (3)设  是锥面 z  x 2  y 2 ( 0  z 1 )の下侧,则 xdydz  2 ydzdx  3( z  1)dxdy   . (4)点 (2, 1, 0) 到平面 3 x  4 y  5 z 0 の距离 = . z (5)设矩阵 A  2 1  , 为 2 阶单位矩阵,矩阵 满足 ,则 B = B BA B  2E   1 2 E   (6) 设 随 机 变 量 z 与 P  max{ X , Y } 1 = Y 相互独立,且均服从区间 . 上の均匀分布,则 [0,3] . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出の四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内) (7)设函数 增量, y (A) (C) 与 f ( x) 在点 x0  f ( x, y ) 2 2  0 dx  (B) (D) 为连续函数,则 1 x 2 f ( x, y )dy x 2 2 dy  (9)若级数 1 y 2 y  a n n 1 , f ( x)  0, f ( x)  0 x 处对应の增量与微分,若 y  dy  0 0 (C) 分别为 具有二阶导数,且 0  dx  y (8)设 (A) dy y  f ( x) f ( x, y )dx 收敛,则级数  4 0 x  0 为自变量 在 x x0 处の ,则 0  y  dy dy  y  0 1  d  f (r cos  , r sin  )rdr 等于 0 (B)  2 2 0 (C) dx  0  0 2 2 1 x 2 f ( x, y )dy dy  0 1 y 2 f ( x, y )dx (A)  a n 收敛 (B) n 1 (C)   ( 1) n 收敛 an n 1   an an1 收敛 (D) n 1 an  an 1 收敛 2 n 1   (10)设 f ( x, y ) 与  ( x, y ) 均为可微函数,且  1 ( x, y ) 0 .已知 ( x , y ) 是 f ( x, y ) 在约 0 0 y 束条件  ( x, y ) 0 (A)若 下の一个极值点,下列选项正确の是 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 (B) 若 f x( x0 , y0 ) 0 , 则 (D) 若 f x( x0 , y0 ) 0 , 则 f y( x0 , y0 ) 0 (C)若 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 f y( x0 , y0 ) 0 (11)设 (A)若 (B)若 (C)若 (D)若 α1 , α 2 ,  , α s , α1 , α 2 ,  , α s , α1 , α 2 ,  , α s , α1 , α 2 ,  , α s , α1 , α 2 ,  , α s , 均为 维列向量, n 线性相关,则 线性相关,则 线性无关,则 线性无关,则 A 是 m n 矩阵,下列选项正确の是 Aα1 , Aα 2 , , Aα s , Aα1 , Aα 2 , , Aα s , Aα1 , Aα 2 , , Aα s , Aα1 , Aα 2 , , Aα s , 线性相关 线性无关 线性相关 线性无关. (12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A の第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B の第 1 列の-1 倍加到第  1 1 0 2 列得 C ,记 P  0 1 0  ,则    0 0 1   (A) (C) (C) (D) C PT AP (13)设 (A) (B) C P  1AP A, B 为随机事件,且 P( A  B )  P ( A) P( A  B ) P ( A) P( B)  0, P( A | B) 1 C PAP  1 C PAPT ,则必有 (B) (D) P( A  B )  P ( B ) P ( A  B ) P ( B ) (14)设随机变量 且 服从正态分布 X P{| X  1 | 1}  P{| Y  2 | 1}, (A) (C) , N ( 1 ,  12 ) Y 服从正态分布 N ( 2 ,  22 ) , 则 (B) 1   2 1   2 (D) 1  2 1  2 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D=   x, y  x 2 1  xy dxdy . 2 2 y  ,计算二重积分 I 1  x  y 2 1, x 0 D (16)(本题满分 12 分) 设数列 x 满足 0  x   , x sin x n 1, 2,... .  n  1  1 n 求:(1)证明 lim x 存在,并求之. x  n 1 x2 (2)计算 lim  xn 1  n .   x   xn  (17)(本题满分 12 分) 将函数 f  x   x 展开成 x の幂级数. 2  x  x2 (18)(本题满分 12 分) 设 函 数 f  u  在  0,  内具有二阶导数, 且 z  f   x2  y 2 满 足 等 式  2 z 2 z  2 0 . 2 x y (1)验证 f  u   f  u  . 0 u (2)若 f 1 0, f  1 1, 求函数 f (u ) の表达式.     (19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 D   x, y  y  0 内,数 f x, y 是有连续偏导数,且对任意の   t  0 都有   f  tx, ty  t 2 f  x, y  . 证明: 对 L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线 L ,都有 (20)(本题满分 9 分) yf ( x, y)dx  xf ( x, y)dy 0 . L 已知非齐次线性方程组  x1  x2  x3  x4  1  4 x1  3 x2  5 x3  x4  1 ax  x  3 x  bx 1 3 4  1 2 有 3 个线性无关の解, (1)证明方程组系数矩阵 (2)求 a, b A の秩 r A 2 .   の值及方程组の通解. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵 T T A の各行元素之和均为 3,向量 α1   1, 2,  1 , α 2  0,  1,1 是 线性方程组 Ax 0 の两个解. (1)求 A の特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A ,使得 QT AQ A . (22)(本题满分 9 分) 1 2 , 1 x  0  随机变量 x の概率密度为 f x  1 , 0  x  2 令y x 2 , F x, y 为二维随机变量    x  4 0, 其它   ( X ,Y ) の分布函数. (1)求 (2) Y の概率密度 f y . Y    1  F   ,4 .  2  (23)(本题满分 9 分) 设总体 X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 参考答案 壱、 填空题 x 0 0  x 1 0 其它 の简单随机样本,记  の最大似然估计. （1） lim  の概率密度为 F ( X , 0)  ,其中 是未知参数 (0    1) , 1   1 x  2  X x ln(1  x ) = 2 . 1  cos x N 为样本值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 の个数,求  ln(1  x ) x,1  cos x （2）微分方程 y  （3）设  是锥面 1 2 x （ 当x  0时 ） 2 y (1  x) の通解是 y cxe  x ( x 0) ，这是变量可分离方程. x Z= x 2  y 2 (0 Z 1) の下侧，则 xdydz  2 ydzdx  3( z  1)dxdy  2  2 2 补一个曲面  :  x  y 1 上侧 1  z 1  P  x, Q 2 y, R 3( z  1) P Q R   1  2  3 6 x y z ∴    6dxdydz （  为锥面  和平面  所围区域）  1 1  6V （ V 为上述圆锥体体积）  6  2 3 dydz  2 ydzdx  3( z  1)dxdy 0 而 1 （∵在 1 上： z 1, dz 0 ） （4） 点( 2,1, 0, ) 到平面3x  4 y  5 z 0的距离d  d 3 2  4 1 2 2 3 4 5 2  10 2   50 2 2 2 (5)设 A= 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6） 弐、 1 9 选择题 （7）设函数 y  f ( x ) 具有二阶导数，且 f ( x )  0 ， f ( x )  0 ， x 为自变量 x 在 x0 处 の增量， y 与 dy 分别为 f ( x ) 在点 x0 处对应の增量与微分.若 x  0 ，则[ A] ( A)0  dy  y ( B)0  y  dy (C )y  dy  0( D)dy  y  0 因为f ( x)  0, 则f ( x)严格单调增加