2006考研数学二真题及答案

2006 考研数二真题及答案 一、填空题 x  4sin x 的水平渐近线方程为 5 x  2 cos x 4sin x 1 1 x  lim y lim  x  x  2 cos x 5 5 x （1）曲线 y  y 1 5 1 x sin t 2 dt , x 0 3  （2）设函数 f ( x )  在 x=0 处连续，则 a= x 0  a, x 0  1 3 sm( x 2 ) 1  lim f ( x) lim  x 0 x 0 3x 2 3 （3）广义积分  xdx (1  x 0   xdx 1  2 2  (1  x ) 2 0 2 2 ) 1 2  d (1  x 2 ) 1 1   2 2  (1  x ) 2 (1  x 2 ) 0  （4）微分方程 y  y (1  x) 的通解是 x  0 0  1 1  2 2 y cxe  x （5）设函数 y  y ( x)由 由 由 y 1  xe y 确定，则 dy dx ( x 0) x 0 e  当 x=0 时，y=1， 又把方程每一项对 x 求导， y(1  xe y )  e y y x 0 y  e y  xe y y ey  1  xe y x 0 y 1  e (6) 设 A = 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. 二、选择题 （7）设函数 的增量， y  f ( x) 具有二阶导数，且 f ( x )  0, f ( x)  0, x y与dy分别为f ( x)在点x0处对应增量与微分, 若 x  0 （A]） 0  dy  y （B） 0  y  dy 为自变量 x 在点 x0 处 ，则[A]A]] （C） 由 （D） y  dy  0 f ( x )  0可知f ( x) f ( x)  0可知f ( x) dy  y  0 严格单调增加 是凹的 即知 （8）设 f ( x) 是奇函数，除 x 0 外处处连续， x 0 是其第一类间断点，则 x f (t )dt 是[A]B] 0 （A]）连续的奇函数 （C）在 x=0 间断的奇函数 （9）设函数 （B）连续的偶函数 （D）在 x=0 间断的偶函数 g ( x)可微, h( x) e1 g ( x ) , h(1) 1, g (1) 2, （A]） ln 3  1 （C）  ln 2  1  （B）  ln 3  1 （D） ln 2  1 h( x) g ( x)e1 g ( x ) （10）函数 （A]） （C） ， 1 2e1 g (1) y c1e x  c2  2 x  xe x （B） （D） y  y  2 y 3xe x y c1e x  c2  2 x  xe x g(1)=  ln 2  1 满足的一个微分方程是[A]D] y  y  2 y 3 xe x 将函数 则 g(1)等于[A]C] y  y  2 y 3e x y  y  2 y 3e x 代入答案中验证即可.  4 1 0 0 （11）设 f ( x, y ) 为连续函数，则 d  f (r cos , r sin  )rd 等于[A]C] （A]） （C） 2 2 dx  0 x 2 2 1 y 2 dy  0 （12）设 条件 1 x 2 f ( x, y )dy 2 2 f ( x, y )dx y （D） 1 x 2 dx  f ( x, y)dy 0 f ( x, y )与 ( x, y )  ( x, y ) 0 （B） 2 2 0 1 y 2 dy  0 f ( x, y )dx 0 均为可微函数，且   ( x, y ) 0,已知 y 下的一个极值点，下列选项正确的是[A]D] ( x0 , y0 )是f ( x, y ) 在约束 （A]）若 f ( x , y ) 0, 则f ( x , y ) 0 x 0 0 y 0 0 （B）若 f ( x , y ) 0, 则f ( x , y ) 0 x 0 0 y 0 0 （C）若 f ( x , y ) 0, 则f ( x , y ) 0 x 0 0 y 0 0 （D）若 f ( x , y ) 0, 则f ( x , y ) 0 x 0 0 y 0 0 令 F  f ( x, y )   ( x, y )  Fx  f x( x, y )   x ( x, y ) 0   Fy  f y( x, y )   y ( x, y ) 0  F   ( x, y ) 0   今   ( x , y ) 0,    y 0 0 (1) (2) f y( x0 , y0 ) f ( x , y )  ( x , y ) 代入(1) 得 f ( x , y )  y 0 0 x 0 0 x 0 0  y ( x0 , y0 )  y ( x0 , y0 ) 今 f ( x , y ) 0,  f ( x , y )  ( x , y ) 0 则 f ( x , y ) 0 故选[A]D] x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 (13)设1,2,…,s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，则（ ）成立. (A]) 若1,2,…,s 线性相关,则 A1,A2,…,As 线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则 A1,A2,…,As 线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则 A1,A2,…,As 线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则 A1,A2,…,As 线性无关. 解: (A]) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若1,2,…,s 线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,…,cs 使得 c11+c22+…+css=0, 用 A 左乘等式两边,得 c1A1+c2A2+…+csAs=0, 于是 A1,A2,…,As 线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.1,2,…,s由线性无关 r(1,2,…,s由)=s. 2. r(AB) r(B). 矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s由),因此 r(A1,A2,…,As) r(1,2,…,s由). 由此马上可判断答案应该为(A]). (14)设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列上得 B,将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列 上得 C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1 (A]) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B=PA , 1 -1 0 C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1 三、解答题 （15）试确定 A]，B，C 的常数值，使 x  0时比x 3的高阶无穷小 解：泰勒公式 [1  x  e x (1  Bx  Cx 2 ) 1  Ax  o( x 3 ) . e x 1  x  代入已知等式得 x 2 x3   o( x 3 ) 2 6 x 2 x3   o( x 3 )][1  Bx  Cx 2 ] 1  Ax  o( x 3 ) 2 6 整理得 1 1 B 1  ( B  1) x  (C  B  ) x 2    C    o( x 3 ) 1  Ax  o( x 3 ) 2 6 2 比较两边同次幂函数得 B+1=A ① 1 =0 ② 2 B 1  C  0 ③ 2 6 B 1 2 式②-③ 得  0 则B  2 3 3 1 代入①得 A 3 1 代入②得 C 6 C+B+ 其中 o( x 3 ) 是当 （16）求 arcsin e x  e x dx . 解：原式= arcsin e  x 2 (e ) x arcsin t de x 令e x t  2 dt t 1 arcsin t dt  arcsin td ( )   t t t 1 t2   arcsin t tdt arcsin t 1 (  2udu )  令 1  t 2 u    2 2 t t 2 u (1  u 2 ) t 1 t  arcsin t du  2 t u 1  arcsin t 1 u  1  ln C t 2 u 1 arcsin e x arcsin e x 1 1  e2 x  1 dx   ln C .  ex 2x ex 2 1  e 1 （17）设区域 D {( x, y ) | x 2  y 2 |, x 0} ， 计算二重积分 I  D 解：用极坐标系   2  xy dxdy 0  2 2 y  1  x   D 1 1 r   I  d  2 dr  ln(1  r 2 )  ln 2 . 1 r 2 2  0 0  2 （18）设数列 {xn } 满足 证明：（1） lim x n  0  x1   n 1 ， xn 1 sin xn (n 1, 2, 3,) 存在，并求极限； 1 x2 （2）计算 lim  xn 1  n .   n   xn  证：（1）  x2 sin x1 ,  0  x2 1,由 由 n 2 xn 1 sin xn xn ,{xn } 单调减少有下界  根据准则 1， lim x  A 存在 n n  1  xy dxdy . 2 2 y 1  x xn 0 