2006考研数学三真题及答案

2006 考研数学三真题及答案 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.  n 1  lim   n   n  （1）   1 n ______ . f  x  e （ 2 ） 设 函 数 f ( x) 在 x 2 的 某 邻 域 内 可 导 , 且 f  x ， f  2  1 ，则 f  2  ____ . （ 3 ） 设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 dz  1,2  f  0   1 2 2 2 , 则 z  f  4 x  y  在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 _____ .  2 1 A     1 2  ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B  2 E ，则 （4）设矩阵 B  .  0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则 （ 5 ） 设 随 机 变 量 X 与Y 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 P  max  X , Y  1  _______. 1 f  x   e  x     x    , X 1 , X 2 , , X n 2 （6）设总体 X 的概率密度为 为总体 X 的简 2 2 单随机样本，其样本方差为 S ，则 ES ____ . 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. x   （7）设函数 y  f ( x ) 具有二阶导数，且 f ( x )  0, f ( x )  0 ， x 为自变量 x 在点 0 处 x 的增量， y与dy 分别为 f ( x) 在点 0 处对应的增量与微分，若 x  0 ，则 (A) 0  dy  y . (B) 0  y  dy . (C) y  dy  0 . (D) dy  y  0 . （8）设函数 (A) f  x lim 在 x 0 处连续，且 h  0 f  0  0且 f    0  存在 (B) f  h2  h2 [ 1 ] ，则 f  0  1且 f    0  存在 (C) f  0  0且 f   0  存在 f  0  1且 f   0  (D) 存在 [ ]  a （9）若级数 n 1 n 收敛，则级数  (A)   an n 1 收敛 . （B） n an n 1 收敛. an  an 1 2 (D) n 1 收敛.  (C)  ( 1)   an an1 n 1  收敛. [ ] y ( x), y2 ( x), C 为任意常  （10）设非齐次线性微分方程 y  P( x) y Q ( x) 有两个不同的解 1 数，则该方程的通解是 （Ａ） （Ｃ） C  y1 ( x )  y2 ( x) . C  y1 ( x )  y2 ( x ) . （Ｂ） （Ｄ） y1 ( x)  C  y1 ( x)  y2 ( x)  . y1 ( x)  C  y1 ( x)  y2 ( x)  [ ]  ( x, y ) 0 (x , y ) （11）设 f ( x, y )与 ( x, y ) 均为可微函数，且 y ，已知 0 0 是 f ( x, y ) 在约 束条件  ( x, y ) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (B) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (D) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . （12）设 1 , 2 , ,  s 线性相关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. 若 1 , 2 , ,  s 线性相关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. (D) 若 ] 1 ,  2 , ,  s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是 若 (C) 若 [ 1 , 2 , ,  s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. 1 ,  2 , ,  s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. [ ] （13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的  1 倍加到第  1 1 0   P  0 1 0   0 0 1   ，则 2 列得 C ，记 1 1 （Ａ） C P AP . （Ｂ） C PAP . T T （Ｃ） C P AP . （Ｄ） C PAP . （14）设随机变量 X 服从正态分布 N ( 1 ,  12 ) ， Y 服从正态分布 N (  2 ,  22 ) ，且 ［ ］ P  X  1  1  P  Y   2  1 则必有 1   2 (C) 1   2 (B) 1   2 (D) 1   2 [ ] 三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分） y f  x, y    1  xy 设 (Ⅰ) (Ⅱ) x y , x  0, y  0 arctan x ,求 1  y sin g  x   lim f  x, y  y   lim g  x  x  0 ； . （16）（本题满分 7 分） 计算二重积分  y 2  xy dxdy D ，其中 D 是由直线 y x, y 1, x 0 所围成的平面区域. （17）（本题满分 10 分） 证明：当 0  a  b   时， b sin b  2 cos b   b  a sin a  2 cos a   a . （18）（本题满分 8 分） 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M  1, 0  与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a >0 ）. (Ⅰ) 求 L 的方程； ，其上任意点 P  x, y   x 0  处的切线斜率 8 y  ax (Ⅱ) 当 L 与直线 所围成平面图形的面积为 3 时，确定 a 的值. （19）（本题满分 10 分） n 1   1 x 2n1  n  2n  1 求幂级数 n 1 的收敛域及和函数 s ( x) .  （20）（本题满分 13 分） T 设 4 维 向 量  4  4, 4, 4, 4  a  T 组 T T 1  1  a,1,1,1 ,  2  2, 2  a, 2, 2  ,  3  3,3,3  a,3  , ，问 a 为何值时 1 ,  2 ,  3 ,  4 线性相关?当 1 ,  2 ,  3 ,  4 线性相关时, 求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分 13 分） T 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1   1, 2,  1 , 2  0,  1,1 方程组 Ax 0 的两个解. (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量； T (Ⅱ)求正交矩阵 Q 和对角矩阵  ,使得 Q AQ  ； 6 3    A E 2  ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （Ⅲ）求 A 及  （22）（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 1 2 , 1 x  0  1 f X  x   , 0  x  2 4 0, 其他   ， 令 Y  X 2 , F  x, y  (Ⅰ)求 Y 的概率密度 (Ⅱ) Cov( X , Y ) ；  1  F   , 4 (Ⅲ)  2  . 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数. fY  y  ； T 是线性 （23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为  , 0  x  1,  f  x;  1   ,1  x  2, 0, 其他,  其中  是未知参数 值  0    1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数. （Ⅰ）求  的矩估计； （Ⅱ）求  的最大 参考答案