2007考研数学二真题及答案

2007 考研数学二真题及答案 一．选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当 A. 1 e （2）函数 x  0 时，与 B. x f ( x)  A. 0 ln 等价的无穷小量是 x 1 x 1 x C. （B） D. 1 x  1 1  cos x 1 x (e  e ) tan x 在区间    ,   上的第一类间断点是 x (A)A) 1 x (e x  e) B. 1 C.   2 D.  2 （3）如图.连续函数 y  f ( x ) 在区间  3,  2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半     圆周，在区间   2, 0  ,  0, 2 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F ( x)  x  f (t )dt , 0 则下列结论正确的是：（C） 3 F ( 2) 4 3 C. F ( 3)  F (2) 4 5 4 A. . F (3)  B. F (3)  F (2) D. F ( 3)  5 F ( 2) 4 (A)4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A)C) f ( x) f ( x )  f (  x) 存在，则 f (0) 0 B. 若 lim 存在, f (0) 0 x 0 x 0 x x f ( x) f ( x)  f ( x ) C. 若 lim 存在, 则 f (0) 0 D. lim 存在, f (0) 0 x 0 x 0 x x 1 （5）曲线 y   ln(1  e x ), 渐近线的条数为 （D） x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A. 若 lim (A)6)设函数 f ( x) 在 (0, ) 上具有二阶导数，且 下列结论正确的是 f "( x)  0 ,令 B. 若 u  u ，则 u 必发散  n 1 2 C. 若 u  u ，则 u 必收敛  n 1 2 D. 若 u  u ，则 u 必发散  n 1 2 A. lim f ( x, y ) f (n) 1, 2......., n, 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B）  f  x, y   f  0, 0   0  x , y    0,0   = (A)D) A.若 u  u ，则 u 必收敛  n 1 2 （7）二元函数 un 则 B. lim x 0 C. f  0, y   f  0, 0  f  x, 0   f  0, 0  ，且 lim 0 0 y  0 y x f  x, 0   f  0, 0  lim x2  y2  x , y    0,0  0 D. lim  f 'x  x, 0   f 'x (0, 0)  0, 且 lim  f ' y  x, 0   f ' y (0, 0)  0,   y 0  x 0  1  （8）设函数 f ( x, y ) 连续，则二次积分   dx  f ( x, y )dy 等于 2 A. 1  0  arcsin y 1  arcsin y dy  C. 0 dy   2 （9）设向量组 （A） （C） （B） sin x 1  0   arcsin y f ( x, y )dx B. dy  f ( x, y )dx D. 0 dy  1 f ( x, y )dy   arcsin y  2 f ( x, y )dx 1 ,  2 ,  3 线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)A) （B） 1   2 ,  2   3 ,  3  1  1  2 2,  2  2 3,  3  2 1 1   2 ,  2   3 ,  3  1 （D）  1  2 2,  2  2 3,  3  2 1  2  1  1 1 0 0    （10）设矩阵 A=  1 2  1 ，B=  0 1 0  ,则 A 于 B，     1  1 2  0 0 0     （B） (A)A) 合同，且相似 (A)B) 合同，但不相似 (A)C) 不合同，但相似 (A)D)既不合同，也不相似 二．填空题：11－16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 (11) lim x 0 arctan x  sin x 1  . x3 6  x cos t  cos 2 t 上对应于  的点处的法线斜率为（ ）. (12) 曲线  t 21 4  y 1  sin t (13) 设函数 y  1 n ，则 y  0  ＝ 2 3 n . 2x  3 (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y '' 4 y ' 3 y 2e 2 x 的通解 y＝_ C1e x  C2 e3 x  2e2 x . (15) 设 f (u , v) 是 二 元 可 微 函 数 ， y x z f ( , ), x y 则 x z z 2y y x 2x y x  y  f1( , )  f 2( , ) . x y x x y y x y 0  0 (16) 设矩阵 A  0  0 1 0 0 0 0 1 0 0 0  0 ，则 A3 的秩为_1______. 1  0 三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. （ 17 ） 设 f (x)  0 上 单 调 、 可 导 函 数 ， 且 满 足  0, 4  是 区 间  f ( x) x f  1 (t )dt  t 0 cos t  sin t dt ，其中 f  1 是 f 的反函数，求 f ( x) . sin t  cos t 【详解】： 设 y  f (t ), 则 . t  f  1 ( y) cos t  sin t dt f (0) 0 sin t  cos t cos x  sin x 等式两边同时求导得： xf '( x)  x sin x  cos x cos x  sin x f '( x )  sin x  cos x 则原式可化为： x x yf '( y )dy  t  1 （18）（本题满分 11 分）  a  1, 0 x   下方、 x 轴上方的无界区域. 设 D 是位于曲线 y  xa  （Ⅰ）求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 x （Ⅱ）当 为何值时， a V (a ) V ( a) ； 最小？并求此最小值. 【详解】：   0 0 ( I )V (a )   y 2 dx   ( xa  x 2a 2 ) dx  a 2 (ln a ) 2 1 得 2a (ln a) 2  a 2 (2 ln a) ln a(ln a  1) 0 2  ( II )V (a )   0 4 (ln a) 故 ln a 1 即 a e 是唯一驻点，也是最小值点，最小值 V (e) e2 （19）求微分方程 y '' x  y '2  y ' 满足初始条件 y (1)  y '(1) 1 的特解.   【详解】： 设 p  y  dy dp ，则 y  代入得： dx dx dp dx x  p 2 x ( x  p2 )  p    p dx dp p p 设 x d ( pu ) du du u 则 u  p  u  p u  p  1  u  p  c1 p dp dp dp 即 故 即 由于  y (1) 1 x  p 2  c1 p 1 1  c1  c1 0 dy 2 32 x  p  p  x   x  y  x  c2 dx 3 2 1 3 由 y (1) 1  c2  或 c2  特解为 2 3 1或 2 3 5 y  x2  y  x 2  3 3 3 3 （20）已知函数 确定.设 5 3 f (a ) 具有二阶导数，且 z  f (ln y  sin x), 求 dz dx f '(0) ＝1，函数 ， d2z x 0 dx 2 y  y ( x) 由方程 y  xe y  1 1 . x 0 【详解】： y  xe y  1 1 两边对 求导得 x e y 1 1  xe y  1 得 y  故有 dz dx d 2z dx 2 y x 0  x 0 y  (e y  1  xe y  1 y) 0 （当 x 0，y 1) e1 1 1 2 1 1  f (ln y  sin x)( y  cos x) y x 0 x 0  f (0)(11  1) 0 1 ( y )2  f (ln y  sin x)( y  cos x) 2  f (ln y  sin x)(  2  sin x) y y  f (0)(11  1)2  f (0)( 1 1  0) 1( 1)  1 12 x 0 所 (21) （本题 11 分） 设函数 f ( x), g ( x ) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内具有二阶导数且存在相等的最大值， f (a ) g (a), f (b) g (b) 证明：存在   (a, b)，使得 f '' ( )  g '' ( ) . 【详解】： 证明：设 f ( x), g ( x) 就是所求点 在 ( a , b) 内某点  使得f ( ) g ( ) ( c, d ) 内肯定存在 同时取得最大值，则 f (c )  g ( c ) ，此时的 c .若两个函数取得最大值的点不同则有设 f (c) max f ( x), g (d ) max g ( x) 在 c  ( a , b) 故有  使得f ( ) g ( ) f (c)  g (c )  0, g (d )  f (d )  0 由罗尔定理在区间 ( a, ), ( , b) ，由介值定理， 内分别存在一点 1 ,  2 , 使得f ' (1 )＝f ' ( 2 ) ＝ 0 在 区 间 (1 ,  2 ) 内 再 用 罗 尔 定 理 ， 即 存在  ( a, b)，使得f '' ( )  g '' ( ) . （22）（本题满分 11 分）  x2 .  设二元函数 f ( x, y )  1 ,  2 2  x y 计算二重积分 x  y 1. 1  x  y 2. f ( x, y)d . 其中 D  ( x, y)  x  y 2 D 【详解】：D 如图（1）所示，它关于 x,y 轴对称， f ( x, y ) 对 x,y 均为偶函数，得 f ( x, y)d 4f ( x, y)d ，其中 D 是 D 的第一象限部分. D D1 1