2007考研数学三真题及答案

2007 考研数学三真题及答案 壱． 选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当 x  0 A .1  e 等价的无穷小量是（ ） x B.ln(1  x ) x （2） 设函数 时，与 f ( x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是： f ( x) 存在，则 f (0) 0 x f ( x) 存在，则 f '(0) 存在 C. .若 lim x 0 x ( ) f ( x)  f (  x ) 存在，则 f (0) 0 x f ( x)  f ( x) 存在，则 f '(0) 存在 D. 若 lim x 0 x A .若 lim B. 若 lim x 0 （3） D.1  cos x C. 1  x  1 x 0 如图.连续函数 y  f ( x ) 在区间  3,  2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下     半 圆 周 ， 在 区 间  2, 0 , 0, 2 上 图 形 分 别 是 直 径 为 2 的 上 、 下 半 圆 周 ， 设    x F ( x)  f (t )dt , 则下列结论正确的是：（ ） 0 3 F ( 2) 4 3 C. F ( 3)  F (2) 4 5 4 A. . F (3)  B. F (3)  F (2) D. F ( 3)  （4） 设函数 f ( x, y ) 连续，则二次积分 A. 1  dy  0 1  arcsin x  arcsin y dy  C.  0 5 F ( 2) 4 1   dx sin x f ( x, y)dy 等于（ ）  2 1  0   arcsin y dy  f ( x, y ) dx B. f ( x, y ) dx dy  D.  0 2 1 f ( x, y )dx   arcsin y f ( x, y )dx 2 （5） 设某商品的需求函数为 Q 160  2  ，其中 Q ，  分别表示需要量和价格，如果 该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 1 x B. 1 （6） 曲线 y   ln(1  e x ), 渐近线的条数为（ ） A. 0 C. 2 D. 3 （7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是( ) （A） （C） 1   2 ,  2   1 ,  3   1 1  2 2 ,  2  2 3 ,  3  21 (B)  2   1 ,  2   3 ,  3  1 (D) 1  2 2 ,  2  2 3 ,  3  21 1  2  1  1 1 0 0     （8）设矩阵 A  1 2  1 ， B  0 1 0  则 A 与 B （ ）  1  1 2  0 0 0      （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ( ) ( A)3 p(1  p) 2 ( B )6 p (1  p) 2 (C )3 p 2 (1  p) 2 ( D)6 p 2 (1  p ) 2 (10) 设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f x ( x ), f y ( y ) 分别表示 X, Y 的概率密度，则在 Y  y 条件下， 的条件概率密度 f 为( ) X X Y (x y) （A） (B) f ( y ) y f X ( x) (D) f x ( x) (C) f ( x) f ( y ) x y f y ( y) 二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） . x3  x 2  1 (sin x  cos x) ________ x   2 x  x3 lim （12）设函数 y  （13）设 f (u, v) （14）微分方程 1 ，则 y ( n ) (0) _________ . 2x  3 是二元可微函数， y x z z z  f ( , ), 则  y ________. x y x y dy y 1 y 3   ( ) 满足 y dx x 2 x 0  0 （15）设距阵 A  0  0 1 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 的特解为__________. 0  0 , 则 A3 的秩为_______. 1  0 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 1 的概率为________. 2 三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 10 分） 设函数 y  y( x) 由方程 y ln y  x  y 0 确定，试判断曲线 y  y( x) 在点（1，1）附近 2 的凹凸性. （18）（本题满分 11 分） 设二元函数  x2 .  f ( x, y )  1 ,  2 2 x  y  计算二重积分 x  y 1. 1  x  y 2. f ( x, y )d . 其中 D  ( x, y)  x  y 2 D （19）（本题满分 11 分） 设函数 f ( x ) ， g ( x ) 在 a, b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 f (a ) ＝ g (a ) ，   f (b) ＝ g (b) ，证明： （Ⅰ）存在 （Ⅱ）存在   (a, b),   (a, b), 使得 使得 f ( )  g ( ) ； f ''( ) g ''( ). （20）（本题满分 10 分） 将函数 f ( x )  1 展开成 x  1 的幂级数，并指出其收敛区间. x  3x  4 2 (21)(本题满分11分)  x1  x2  x3 0  设线性方程组  x1  2 x2  ax3 0  2  x1  4 x2  a x3 0 与方程x1  2 x2  x3 a  1 (2) (1) 有公共解，求a的值及所有公共解 （22）（本题满分 11 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3  2, 1 (1,  1,1)T 是 A 的属于 1 的一 个特征向量.记 B  A5  4 A3  E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （Ⅰ）验证 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； 1 （Ⅱ）求矩阵 B. （23）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为  2  x  y, 0  x  1, 0  y  1. f ( x, y )  0, 其他 （Ⅰ）求 P X  2Y ；   3 （Ⅱ）求 Z X  Y 的概率密度 fZ ( z ) . （24）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 1  2 , 0  x   ,   1 f ( x; )  , x  1, . 2(1   )  0, 其他   其中参数  (0    1) 未知， X 1 , X 2 ,... X n 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值. （Ⅰ）求参数 的矩估计量  ；   （Ⅱ）判断 4X 2 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由. 参考答案 一、选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当 x  0 A .1  e x （2） 设函数 时，与 x 等价的无穷小量是（B） B.ln(1  x ) f ( x) 在 x 0 C. 1  x  1 D.1  cos x 处连续，下列命题错误的是： f ( x) 存在，则 f (0) 0 x f ( x) 存在，则 f '(0) 存在 C. .若 lim x 0 x A .若 lim x 0 (D) f ( x)  f (  x ) 存在，则 f (0) 0 x f ( x)  f ( x) 存在，则 f '(0) 存在 D. 若 lim x 0 x B. 若 lim x 0 （3） 如图.连续函数 y  f ( x ) 在区间  3,  2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下     半 圆 周 ， 在 区 间  2, 0 , 0, 2 上 图 形 分 别 是 直 径 为 2 的 上 、 下 半 圆 周 ， 设    x F ( x)  f (t )dt , 则下列结论正确的是：（C ） 0 3 F ( 2) 4 3 C. F ( 3)  F (2) 4 A. . F (3)  5 4 B. F (3)  F (2) D. F ( 3)  5 F ( 2) 4 4 （4） 设函数 f ( x, y ) 连续，则二次积分 A. 1  0  arcsin x dy  1  arcsin y dy  C.  0  1  2 sin x  dx  1  0   arcsin y dy  f ( x, y )dx B. f ( x, y ) dx dy  D.  0 1 2   arcsin y f ( x, y )dy 等于（B） f ( x, y )dx f ( x, y )dx 2 （5） 设某商品的需求函数为 Q 160  2  ，其中 Q ，  分别表示需要量和价格，如果 该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（D） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 1 x B. 1 （6） 曲线 y   ln(1  e x ), 渐近线的条数为（D） A. 0 C. 2 D. 3 （7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是 （A） (C) (B) 1   2 ,  2   1 ,  3  1  2  1 ,  2   3 ,  3   1 (D) 1  2 2 ,  2  2 3 ,  3  21 (A) 1  2 2 ,  2  2 3 ,  3  21  2  1  1 1 0 0     （8）设矩阵 A  1 2  1 ， B  0 1 0  则 A 与 B （B）  1  1 2  0 0 0      （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (C) ( A)3 p(1  p) 2 ( B )6 p (1  p) 2 (C )3 p 2 (1  p) 2 ( D)6 p 2 (1  p ) 2 (10) 设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f x ( x ), f y ( y ) 分别表示 X, Y 的概率密度，则在 Y  y 条件下， 的条件概率密度 f 为 X X Y (x y) （A） f X ( x) (C) f ( x) f ( y ) x y (A) (B) f ( y ) y (D) f x ( x) f y ( y) 二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） . x3  x 2  1 (sin x  cos x) ___ 0 _________ x 3 x  2  x lim 5