2008考研数学二真题及答案

2008 考研数学二真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 f ( x ) x 2 ( x  1)( x  2)  A 0  B  1. C 2 ，则 f ' ( x) 的零点个数为（ ）  D 3 （2）曲线方程为 y  f ( x ) 函数在区间 [0, a] 上有连续导数，则定积分 a  af 0 t ( x)dx （ ）  A 曲边梯形 ABCD 面积.  B  梯形 ABCD 面积.  C  曲边三角形 ACD 面积.  D  三角形 ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以 y C1e x  C2 cos 2 x  C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 为任意常数）为 通解的是（ ）  A y '''  y ''  4 y '  4 y 0 C y '''  y ''  4 y '  4 y 0  B y '''  y ''  4 y '  4 y 0  D y '''  y ''  4 y '  4 y 0 （5）设函数 f ( x) 在 (  , ) 内单调有界， x 为数列，下列命题正确的是（ ）  n  A 若  xn   C  若 收敛，则 f ( x ) 收敛.  n  B  若  xn  f ( xn ) 收敛，则  xn  收敛.  D 若 （6）设函数 f 连续，若 F (u, v)  f ( x2  y2 )  Duv 2 x y 2 单调，则 f ( x ) 收敛.  n f ( xn ) 单调，则  xn  收敛. dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 F  u  A  B vf (u 2 )  C  vf (u ) （7）设 A  D v f (u 2 ) u v f (u ) u 为 阶非零矩阵， n E 为 阶单位矩阵. 若 n A3 0 ，则（ ）  A E A C E A 不可逆， 可逆， EA EA 不可逆.  B 可逆.  D E A E A 不可逆， 可逆， EA EA 可逆. 不可逆. （8）设 A  1 2  ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ） A  2 1    A 2 1 .  1  2    B  2 1 .   1 2  2  1 . 1 2     1  2 .  2 1  C   D  二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数 （10）微分方程 f ( x) 连续，且 lim x 0 1  cos[ xf ( x)] 2 (e x  1) f ( x) ( y  x 2 e  x )dx  xdy 0 1 ，则 f (0) ____ . 的通解是 y ____ . （11）曲线 sin xy  ln y  x  x 在点 0,1 处的切线方程为 .       （12）曲线 y ( x  5) x 2 3 的拐点坐标为______. x z  yy （13）设 z   ，则 x  x （14）设 3 阶矩阵 A (1,2) ____ . 的特征值为 2,3,  .若行列式 2 A  48 ，则  ___ . 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 9 分） 求极限  sin x  sin  sin x   sin x . lim  x 0 x4 (16)（本题满分 10 分） 设函数 y  y ( x) x x (t )  确定，其中 是初值问题 x(t ) t2  ln(1  u )du  y  0 由参数方程   dx x   2te 0 的解.求 2 y .  dt x 2  x t  0 0  (17)（本题满分 9 分）求积分 1  0 x arcsin x 1 x 2 dx . (18)（本题满分 11 分） 求二重积分 max( xy,1)dxdy, 其中 D {( x, y) 0 x 2, 0  y 2} D (19)（本题满分 11 分） 设 f ( x) 是 区 间 0,  上 具 有 连 续 导 数 的 单 调 增 加 函 数 ， 且 f (0) 1 . 对 任 意 的   t   0,   ，直线 x 0, x t ，曲线 y  f ( x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周 生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x) 的表达式. (20)（本题满分 11 分） (1) 证 明 积 分 中 值 定 理 ： 若 函 数 f ( x) 在闭区间 [ a, b ] 上连续，则至少存在一点 b   [a, b] ，使得  f ( x)dx  f ( )(b  a ) a (2)若函数  ( x ) 具有二阶导数，且满足  (2)   (1),  (2)  点 3  ( x)dx ，证明至少存在一 2   (1,3), 使得 ( )  0 （21）（本题满分 11 分） 求函数 u x 2  y 2  z 2 在约束条件 z x 2  y 2 和 x  y  z 4 下的最大值与最小值. （22）（本题满分 12 分）  2a 1  2 a 2a  设 矩 阵 A      a2     ， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX B ， 其 中 1  2a  nn T X  x1 , , xn  ， B  1, 0, , 0  ， （1）求证 A  n  1 a n ；   （2） 为何值，方程组有唯一解，并求 a x1 ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶矩阵， A 3  2   3 （1）证明 1 ,  2 为 A 的 分 别 属 于 特 征 值  1,1 特 征 向 量 ， 向 量  3 满 足 ， 1 ,  2 ,  3 线性无关； （2）令 P   ,  ,  ，求  1 .  1 2 3 P AP 参考答案 一、选择题 (1)【答案】 D 【详解】因为 f (0)  f (1)  f (2) 0 f (1 )  f ( 2 ) 0 f ( x ) ，所以 f ( x ) ，由罗尔定理知至少有 至少有两个零点. 又 f ( x) 1  (0,1) ，  2  (1, 2) 使 中含有因子 x ，故 x 0 也是 的零点， D 正确. 本题的难度值为 0.719. (2)【答案】 C 【详解】 a a 0 0  xf ( x)dx  xdf ( x) xf ( x) 其中 af ( a ) 是矩形 ABOC 面积， a 0  a a 0 0  f ( x)dx af (a)   f ( x)dx a a 0 0  f ( x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以  xf ( x)dx 为曲边三角形的面积． 本题的难度值为 0.829. (3)【答案】 D 【详解】由微分方程的通解中含有 有根 r 1, r 2i ex ，所以特征方程为 以已知函数为通解的微分方程是 、 cos 2x 、 sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程 ( r  1)( r  2i)( r  2i) 0 ，即 r 3  r 2  4r  4 0 y  y  y  4 0 本题的难度值为 0.832. (4) 【答案】 A 【详解】 因为 x 0, x 1 时 lim f ( x)  lim x 0 x 0 f ( x) 无定义，故 x 0, x 1 是函数的间断点 ln x 1 1x lim  lim csc x x  0 | x  1| x 0  csc x cot x  lim x 0 sin 2 x x  lim 0 x  0 cos x x cos x .故 同理 lim f ( x) 0 x  0 又 lim f ( x) lim x 1 所以 x 1 ln x 1  lim sin x  lim  sin1 sin1 x  1 x 1  x 1 x  x 0 是可去间断点， x 1 是跳跃间断点. 本题的难度值为 0.486. (5)【答案】 B 【详解】因为 { f ( xn )} f ( x) 在 (  , ) 内单调有界，且 {xn } 单调. 所以 { f ( xn )} 单调且有界. 故 一定存在极限. 本题的难度值为 0.537. (6)【答案】 A f  u 2  v2  v u u 2 F  u, v   dudv  dv  f (rr ) rdr v  f (r 2 )dr 0 1 1 u 2  v2 D 【详解】用极坐标得 所以 F vf  u 2  u 本题的难度值为 0.638. (7) 【答案】 C 【详解】 故 ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E E  A, E  A ， ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E 均可逆． 本题的难度值为 0.663. (8) 【答案】 D 【详解】记 D  1  2 ， 1  2  则 E  D    1 2 2  1 2 2 2    1  4 ，又  E  A     1  4 1 2 1 所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以 A 和 D 有相同的特征值. 又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和 D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 D 正确. 本题的难度值为 0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 2 2 【详解】 lim 1  cos[ xf ( x)] lim 2sin [ xf ( x) 2] lim 2sin [ xf ( x) 2] f ( x) 2 2 2 x 0 (e x  1) f ( x ) x 0 x f ( x) x 0 [ xf ( x) 2] 4