2010考研数学二真题及答案

2010考研数学二真题及答案 一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．) 的通解为 y= ． (1)三阶常系数线性齐次微分方程 的渐近线方程为 (2)曲线 ． (3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ． (4)当 0≤θ≤π θ≤θ≤π π 时，对数螺线 r=eθθ的弧长为 ． (5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s cm/s 的速率增加， 则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 ． (6)设 A，B 为 3cm/s 阶矩阵，且|A|=3A|A|=3=3cm/s ，|A|=3B|A|=3=2，|A|=3A-1+B|A|=3=2，则|A|=3A+B-1|A|=3= ． 二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所 选项前的字母填在题后括号内．) (7) 函数 的无穷间断点数为 (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3cm/s ． (8) 设 y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程 μ使 该方程的解 的两个特解．若常数 λ， 是对应的齐次方程的解，则 2 (9) 曲线 y=x 与曲线 y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A) 4eθ． (B) 3cm/s eθ． (C) 2eθ． (D) eθ． (10) 设 m，n 是正整数，则反常积分 的收敛性 (A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关． (C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关． (11) 设函数 z=z(x，y)由方程 (C) (A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12) 确定，其中 F 为可微函数，且 (D) (14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0，若 A 的秩为 3cm/s ，则 A 与 相似于 三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) 求函数 的单调区间与极值． (16) (Ⅰ) 比较 的大 小，说明理由； (Ⅱ) 记 ，求极限 (17) 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 φ(t))具有二阶导 数，且φ(1)= (18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放， 当油罐中油面高度为 时(如图 2)，计算油的质量． 3cm/s (长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/mkg/m ) (19) 设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的值，使等式在变换 (20) 计算二重积分 (21) 设函数 f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在 2 2 f'(ξ)+f'(η)=ξ)+f'(η)=ξ)=ξ)+f'(η)=ξ +η)=ξ (22) 设 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解． (Ⅰ) 求 λ， a； (Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解. (23cm/s ) 设 正交矩阵使得 为对角矩阵，若 Q 的第 1 例为 参考解答 一、填空题 n (2) y=2x (3cm/s ) -2 ·(n-1)! (1) (4) (5) 3cm/s cm/s (6) 3cm/s 二、选择题 (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13cm/s ) A (14) D 三、解答题 (15) 分析：求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间． 解 令 因为当 x＞1 时 当-1＜x ＜0 时 时 所以 f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1， 0)，(1，+∞)；极 小值为 f(1)=f(-1)=0，极大值为 评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型． (16) 分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分 ，再用夹逼定理求极限。 n 解：(Ⅰ)当 0≤θ≤π t)≤θ≤π 1 时，0≤θ≤π ln(1+t))≤θ≤π t)，故|A|=3lnt)|A|=3[ln(1+t))] ≤θ≤π |A|=3ln|A|=3．由积分性质得 (Ⅱ) 于是 有 由夹逼定理得 评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息． (17) ψ(t)) 分析：先求 可得关于 ψ(t))的微分方程，进而求出 解：由参数方程确定函数的求导公式 可得 评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度． (18) 分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．