2010考研数学三真题及答案

2010 考研数学三真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1 x 1 x (1)若 lim[  (  a )e x ] 1 ，则 a 等于 x 0 （Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３ (2) 设 y , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解. 若常数 ,  使      1 2  y1   y2 是该方程的解,  y1   y2 是对应的齐次方程的解, 则 1 2 （A）   , （3）设函数  1 1 1 2 1 2 2 (B)   ,   (C)   ,   (D)   ,   2 2 2 3 3 3 3 f ( x), g ( x) 具有二阶导数，且 g ( x)  0 。若 g ( x0 ) a 是 g ( x) 的极值，则 f  g  x   在 x0 取极大值的一个充分条件是 (A) f  a  0   (B) f  a  0   （4）设 f x ln10 x,   g  x   x, (C) f  a  0   (D) f  a  0   x 10 h  x  e ，则当 x 充分大时有 (A) g x  h x  f x .       (B) h x  g x  f x .       (C) f x  g x  h x .       (D) g x  f x  h x .       (5) 设向量组 I : 1 ,  2 , ,  r 可由向量组 是 (A) 若向量组 I 线性无关, 则 r s (C) 若向量组 II 线性无关, 则 r s (6)设 为 4 阶对称矩阵,且 2 A A  A 0 II : 1 ,  2 , ,  s 线性表示, 则列命题正确的 (B) 若向量组 I 线性相关, 则 r  s (D) 若向量组 II 线性相关, 则 r  s 若 A 的秩为 3,则 1   1   (A)   1    0  A 相似于 1   1   (B)   1    0  1    1  (C)   1    0   1    1  (D)   1    0  1 0, x  0  (7) 设随机变量 X 的分布函数 F ( x)  1 , 0  x  1 ，则 P  X 1   2 1  e  x , x 1 (A) 0 (8) 设 (B) 1 f1 ( x) (C) 为标准正态分布的概率密度 f 2 ( x) 1 1 e 2 为 (D) 1  e  1 [ 1,3] 上均匀分布的概率密度, af ( x), x 0 f ( x)  1 (a  0, b  0) 为概率密度,则 a, b 应满足 bf ( x ), x  0  2 (A) 2a  3b 4 (B) 3a  2b 4 (C) a  b 1 (D) a  b 2 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数 y  y  x  由方程 x y  0 1 （10）设位于曲线 y  x(1  ln 2 x ) x 2 e  t dt  x sin t 2 dt 确定，则 0 dy dx x 0 ______ (e x  ) 下方, x 轴上方的无界区域为 G , 则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为 _________ 。 （11）设某商品的收益函数为 R p ，收益弹性为 , 其中 p 为价格, 且 R 1 1 , 则     1  p3 R  p  _______ （12）若曲线 y  x3  a x 2  bx  1 有拐点  1, 0 , 则 b  ________ 。   (13) 设 A, B 为 3 阶矩阵, 且 A 3, B 2, | A 1  B |2, 则 | A  B  1 | _______ . （ 14 ） 设 T X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (  ,  2 )(  0) 的简单随机样本。记统计量 1 n 2 ，则 。 Xi E (T ) _______  n i 1 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) （15）(本题满分 10 分) 1 1 求极限 lim ( x x  1) ln x x   （16）(本题满分 10 分) 计算二重积分 3 ( x  y ) dxdy , 其 中 D 由 曲 线 x  D 2 1  y 2 与 直 线 x  2 y 0 及 x 2 y 0 围成. （17）(本题满分 10 分) 求函数 u  xy  2yz 在约束条件 x 2  y 2  z 2 10 下的最大值和最小值 . (18) (本题满分 10 分) (1)比较 1 1  ln t [ln(1  t )] dt 与 t n 0 0 1 n ln t dt (n 1, 2,) 的大小,说明理由。  ln t [ln(1  t )] dt , (n 1, 2,) 求极限 lim u (2)记 u  n n n  0 n 。 （19）(本题满分 10 分) 设函数 f x 在闭区间 0, 3 上连续, 在开区间 0, 3 内存在二阶导数, 且       2 2 f (0)  f ( x)dx  f (2)  f (3) 0 (I) 证明存在  0, 2 , 使得 f ( )  f 0 ；     (II) 证明存在   0, 3 , 使得 f ( ) 0 。   (20) (本题满分 11 分) 1 1   a   设 A  0   1 0 ， b  1  已知线性方程组 AX b 存在两个不同的解.      1  1  1   (1) 求 , a ； (2) 求方程组 AX b 的通解. (21) (本题满分 11 分)  0  1 4 设 A   1 3 a  ,正交矩阵 Q 使得 QT AQ 为对角矩阵.若 Q 的第一列为 1 (1, 2,1)T ,求   6  4 a 0  a, Q . (22)(本题满分 11 分) 2 2 ， 设 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 为    x   ， f ( x, y )  Ae  2 x 2 xy  y    y   求常数 A 以及条件概率密度 fY | X  y | x  。 (23) (本题满分 11 分) 箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记 X 为取出红球的个数, Y 为取出白球的个数 . (I) 求随机变量 X , Y 的概率分布；   3 (II) 求 Cov X , Y .   参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a. 【详解】由于 1 1 1  e x  axe x 1  ex lim[  (  a)e x ] lim lim(  ae x ) x 0 x x  0 x  0 x x x 1  ex  lim ae x a  1 x 0 x 0 x lim 从而由题设可得 a  1 1 ，即 a 2 ，故应选（C） (2) 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构 【详解】因为 y , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解，所     1 2 以 y1  p  x  y1  y2  p  x  y2 q  x  ---------------------------（1） 由于  y1   y2 是该方程的解,则 ( y1   y2 )  p  x  ( y1   y2 ) q  x  即  ( y1  p  x  y1 )   ( y2  p  x  y2 ) q  x  将（1）代入上式可得： 由于  y1   y2    1 ——————————————（2） 是对应的齐次方程的解 则 ( y   y )  p x ( y   y ) 0 ，即  ( y  p x y )   ( y   p x y ) 0   1   1   2 1 2 2 1 2 将（1）代入上式可得： 由（2）、（3）可得    0 ——————————————（3） g ( x)  0 。故应选（A） 评注：设 y , y , , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的解，则对于常数     1 2 s k1 , k2 , , ks ，有下列结论： ⑴ 若 k  k    k 1 ，则 k y  k y    k y 是方程 y p x y q x 的解；     1 1 2 2 s s 1 2 s ⑵ 若 k  k    k 0 ，则 k y  k y    k y 是方程 y p x y 0 的解。   1 2 s 1 1 2 2 s s 4 （3）【分析】本题主要考查导数的应用.求 f g x 的一、二阶导数，利用取得极值的必     要条件及充分条件。 【详解】令 F ( x)  f g x ，则     F ( x )  f  g  x       f   g  x    g   x  , F ( x)  f  g  x      { [ f  g  x   ] g  x  }  f  g  x   [ g  x  ]2  f  g  x   g   x  由 g x a 是 g ( x ) 的极值知 g  x 0 。于是有  0  0 F ( x0 ) 0 ， F ( x0 )  f ( a) g ( x0 ) 由于 g ( x)  0 , 要使 F ( x )  f g  x     0 , 只要 f  a   0 . 0 0     因此应选(B) （4）.【分析】计算两两比的极限便可得到答案 【详解】因为 lim x   f ( x) ln10 x ln 9 x ln 8 x  lim 10 lim 10 9 lim x   x   g ( x) x   x x x  10! lim x   ln x 1 10! lim 0 , x   x x g ( x) x 1  lim x  lim 0 , x x   h( x ) x   x  1 e10 e10 10 lim 由此可知当 充分大时, x f ( x )  g ( x )  h( x ) ，故应选（C）。 (5) 【分析】本题考查向量组的线性相关性。 【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示，所以（ r I）（ r II），即 r (1 ,  2 , ,  r）r ( 1 ,  2 , ,  s ) s, 若向量组 线性无关，则 I 评注：“若 1 ,  2 , ,  r r (1 ,  2 , ,  r ) r 线性无关且 ，所以 1 ,  2 , ,  r r s 可由 . 故应选(A). 1 ,  2 , ,  s 线性表示，则 r s ”这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. (6) 【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。 【详解】由于 A2  A 0 ，所以 A( A  E ) 0 ，由于 A 的秩为 3，所以 从而 A 0, A  E 0 ，所以  0,   1 是矩阵 的特征值。 A 1 2 5 A E 不可逆，