2011考研数学二真题及答案

2011 考研数学二真题及答案 一、选择题(1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1) 已知当 (A) x 0 k 1, c 4 时， f x 3sin x  sin 3 x 与 k 是等价无穷小，则(   cx ． (B) k 1, c  4 ． (C) k 3, c 4 ． (D) k 3, c  4   =( 2 x f x  2f x (2) 已知 f x 在   x 0 处可导，且 f  0  0 ，则 lim   x x 0 (A)  2 f  0 ．   (B)  f  0 ．   (C) f  0 ．   (B) 1． (4) 微分方程 (A) (C) 则函数 x(ae x  be   x ) (C) (B) ． f ( x), g ( x) z  f ( x) g ( y ) (A) ． 在点 I  ln sin x dx ， ) ． x 2 ( ae x  be  x ) (B) (D)  4 0 ． f (0)  0, g (0)  0, 处取得极小值的一个充分条件是( f (0)  0, g (0)  0.  4 0 ax (e x  e   x ) 均有二阶连续导数，满足 f (0)  0, g (0)  0. (6) 设 ) 的特解形式为( (D) (0, 0) ) 3 (D) 3． y   2 y e  x  e   x (  0) a (e  x  e   x ) (5) 设函数 (C) 2． 3 ． (D) 0． (3) 函数 f ( x ) ln ( x  1)( x  2)( x  3) 的驻点个数为( (A) 0． ) 且 f (0) g (0) 0 ) f (0)  0, g (0)  0. f (0)  0, g (0)  0. J  ln cot x dx ，  4 0 K  ln cos x dx ，则 I,J,K 的大 小关系是( ) (A) I  J  K ． (B) I  K  J ． (C) J  I  K ． (D) K  J  I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3  1 0 0  1 0 0   行得单位矩阵，记 P  1 1 0 ， P  0 0 1  ，则 A ( 1 2      0 0 1  0 1 0     (A) P1 P2 ． (B) P1 1 P2 ． (C) ， P2 P1 ． (D) ) P2 P1 1 ． (8) 设 Ax 0 A (1 ,  2 ,  3 ,  4 ) 的一个基础解系，则 (A) 1 ,  3 ． (B) 是 4 阶矩阵， A* x 0 A* 为 A 的伴随矩阵，若 的基础解系可为( 1 ,  2 ． (C) 是方程组 (1, 0,1, 0)T ) 1 ,  2 ,  3 ． (D)  2 ,3 , 4 ． 二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位置 上．) (9) lim( x 0 ． 1  2 x 1x )   2 (10) 微分方程 (11) 曲线 y  y ' y e  x cos x y (0) 0 的解为 ．   (0  x  ) 的弧长 s  ． 4 x  tan tdt 0 (12) 设函数 f ( x )  e  满足条件  x , x  0,    0, 则  xf ( x )dx  ．   0, x 0, (13) 设平面区域 D 由直线 y  x, 圆 x 2  y 2 2 y 及 y 轴围成，则二重积分 xyd  D ．  (14) 二次型 为 f ( x1 , x2 , x3 ) x12  3x22  x32  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x3 ，则 f 的正惯性指数 ． 三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分 10 分) x 已知函数  ln(1  t F ( x)  0 xa 2 )dt ，设 lim F ( x )  lim F ( x ) 0, 试求 a 的取值范围．  x   x 0 (16) (本题满分 11 分) 1 1  x  t3  t  ,   3 3 确定，求 设函数 y  y( x) 由 参 数 方 程  y  y ( x) 的 极 值 和 曲 线 1 1  y  t3  t  ,  3 3 y  y ( x) 的凹凸区间及拐点． (17) (本题满分 9 分) 设 函数 z  f ( xy, yg ( x)) ， 其中 函数 f 具有 二阶 连续 偏导 数， 函数 g ( x) 可 导且 在 2 z x 1 处取得极值 g (1) 1 ，求 xy x 1 y 1 (18) (本题满分 10 分) 设函数 具有二阶导数，且曲线 y( x) l 在点 ( x, y ) 处切线的倾角，若 ． l : y  y ( x) 与直线 y  x 相切于原点，记  为曲线 d dy  , 求 y ( x ) 的表达式． dx dx (19) (本题满分 10 分) (I)证明：对任意的正整数 n，都有 (II)设 an 1  1 1 1  ln(1  )  成立． n 1 n n 1 1     ln n (n 1, 2,) ，证明数列  an  收敛． 2 n (20) (本题满分 11 分) 一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 1 1 x 2  y 2 2 y ( y  ) 与 x 2  y 2 1( y  ) 连接而成的． 2 2 (I) 求容器的容积； (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位： m ， 重力加速度为 gm / s 2 ，水的密度为 103 kg / m3 )． y 2 x 2  y 2 2 y 1 1 2 1 O 1 x x 2  y 2 1 1 图１ (21) (本题满分 11 分) 已 知 函 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 f ( x, y ) f ( x, y)dxdy a ， 其 中 D f (1, y ) 0 ， f ( x,1) 0 ， D  ( x, y ) | 0 x 1,0  y 1 ， 计 算 二 重 积 分 I xy f xy ( x, y )dxdy ． D (22) (本题满分 11 分) 设向量组  2 (1, 2,3)T 1 (1, 0,1)T ,  2 (0,1,1)T ,  3 (1,3,5)T ， 3 (3, 4, a )T (I) 求 a 的值； 线性表示． ，不能由向量组 1 (1,1,1)T ， (II) 将 1 ,  2 , 3 由 1 ,  2 ,  3 线性表示． (23) (本题满分 11 分) A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为 2，即 r  A  2 ，且  1 1   1 1    ． A  0 0   0 0    1 1  1 1     (I) 求 A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵 A ． 参考答案 一、选择题(1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1)【答案】(C)． 3sin x  sin 3 x 3sin x  sin x cos 2 x  cos x sin 2 x lim k x 0 x 0 cx cx k 【解析】因为 lim lim sin x  3  cos 2 x  2 cos 2 x  cx k x 0 lim 3   2 cos 2 x  1  2 cos 2 x cx k  1 x 0 3  cos 2 x  2 cos 2 x x 0 cx k  1 lim 4  4cos 2 x 4sin 2 x lim lim x 0 x  0 cx k  1 cx k  1 4 1 ． x  0 cx k  3 lim 所以 c 4, k 3 ，故答案选(C)． (2)【答案】(B)． 【解析】 lim x 2 f  x  2 f  x 3  x 0 lim x3 x 2 f  x   x 2 f  0  2 f  x 3   2 f  0 x 0 x3  f  x   f  0 f  x 3   f  0   lim  2 x 0 x x3    f  0   2 f  0   f  0  ． 故答案选(B)． (3)【答案】(C)． 【解析】 f ( x ) ln x  1  ln x  2  ln x  3 f '( x )   令 f '( x) 0 1 1 1   x 1 x 2 x 3 3 x 2  12 x  11 ( x  1)( x  2)( x  3) ，得 x1,2  6  3 ，故 f ( x) 有两个不同的驻点． 3 (4)【答案】(C)． 【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为 所以非齐次方程 非齐次方程 y   2 y e x 有特解 y   2 y e   x r 2   2 0 y1  x a e x 有特解 ，解得特征根 r1  , r2   , y2 x b e  x 故由微分方程解的结构可知非齐次方程 ， y   2 y e  x  e   x 可设特解 y x(ae x  be   x ). (5)【答案】(A)． 【解析】由题意有 z x 所以， ， z y  f ( x) g ( y ) z z  f (0) g (0) 0 ，  f (0) g (0) 0 ，即  0, 0  点是可能的极值点． x  0,0 y  0,0 2 2 又因为  z x 所以，  f ( x ) g ( y ) 2  f ( x ) g ( y ) ，  z xy 2  f ( x) g ( y) ， z y 2  g ( y ) f ( x) ，  2z 2 z ， B  |(0,0)  f (0) g (0) 0 ，   A  2 |(0,0)  f (0) g (0) xy x C 2 z |(0,0)  f (0) g (0) ， y 2 根据题意由 0, 0 为极小值点，可得 且 ，所以有   AC  B 2  A C  0, A  f (0) g (0)  0 C  f (0) g (0)  0. 由题意 (6)【答案】(B)． f (0)  0, g (0)  0 ，所以 ． f (0)  0, g (0)  0 ，故选(A)．