2011考研数学三真题及答案

2011 考研数学三真题及答案 一．选择题 1. 已 知 当 Error: Reference source not found x  0 时 ， 函 数 f ( x ) 3sin x  sin 3 x k Error: Reference source not found 与 cx 是等价无穷小，则 （A） k 1, c 4 （B） k 1, c  4 （C） Error: Reference source not found （D） k 3, c  4 2．已知 （A） (C) f  x 在 x 0 处可导，且  2 f '  0 （B） f '  0 3．设  un  （A）若 n 1   f '  0  u 收敛，则 n 1 2n 1  u （B）若 n 1  un n 1  u2 n  收敛  2n 1  u2 n   u 收敛，则 n 1 n 收敛  收敛，则 u   u2 n  1  u 2 n  n 1  2n 1  u2 n  n 1  4．设 x3 是数列，则下列命题正确的是  un （D）若 lim ，则 x  0 (D) 0  （C）若 f  0  0 x 2 f  x   2 f  x3  收敛  u 收敛，则 n 1  n 收敛  I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx 0 （A） I  J  K （B） I  K  J （C） J  I  K （D） K  J  I 0 0 ，则 I , J , K 的大小关系是 5．设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第一行得  1 0 0  1 0 0   P1  1 1 0  P2  0 0 1   0 0 1   0 1 0  单位矩阵.记 , ,则 A  （A） P1 P2 （B） P1 1 P2 （C） P2 P1 （D） P2 1 P1 6．设 A 为 4 3 矩阵， 1 , 2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax  的 3 个线性无关的解， k1 , k2 为任意常数，则 Ax  的通解为  2  3  k1   2  1  2 （A）  2  3  k2   2  1  （B） 2  2  3  k1  3  1   k2  2  1  （C） 2 7．设 F1  x  , F2  x   2  3  k2   2  1   k3  3  1  （D） 2 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1  x  , f 2  x  是连续函数，则必 为概率密度的是 （A） （C） f1  x  f 2  x  （B） f1  x  F2  x  （D） 2 f 2  x  F1  x  f1  x  F2  x   f 2  x  F1  x     0  的泊松分布， X 1 , X 2 ,, X n  n 2  为来自总体的简 8．设总体 X 服从参数为  单随机样本，则对应的统计量 （A） ET1  ET2 , DT1  DT2 （B） ET1  ET2 , DT1  DT2 （C） ET1  ET2 , DT1  DT2 （D） ET1  ET2 , DT1  DT2 T1  1 n 1 n 1 1 X T  Xi  Xn   i 2 n i 1 ， n  1 i 1 n 二、填空题 x 9．设 f ( x) lim x(1  3t ) t t 0  ，则 f ( x )  x x dz  z (1  ) y (1, 0) y 10．设函数 ，则  tan( x  y  ) e y 4 11．曲线 在点 (0, 0) 处的切线方程为 2 12．曲线 y  x  1 ，直线 x 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体 积为 13．设二次型 f ( x1 , x2 , x3 )  xT Ax 的秩为 1， A 中行元素之和为 3，则 f 在正交变换下 x Qy 的标准为 2 2 2 14．设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 N (  ,  ;  ,  ; 0) ，则 E ( XY )  三、解答题 lim 15．求极限 x 0 1  2sin x  x  1 x ln(1  x) 16. 已 知 函 数 f (u, v) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， f (1,1) 2 是 f (u, v) 的 极 值 ， z  f  ( x  y ), f ( x, y )  。求 2 z xy (1,1) arcsin x  ln x dx x 17．求  18．证明 4 arctan x  x  4  3 3 0 恰有 2 实根. 19． f ( x )在[ 0, 1] 有连续的导数，f (0) 1，且f ' ( x  y )dxdy f ' ( x  y )dxdy Dt Dt Dt  ( x, y ) | 0  y t , 0  x t (0  t 1), 求f ( x)的表达式。 T 20． T 1  1, 0,1 ,  2  0,1,1 ,  3  1,3,5  T T 1  1, a,1 ,  2  1, 2,3 , 3  1,3,5  T T 不能由 线性表出。①求 a ；②将 线性表出。  1 1   1 1     A  0 0   0 0    1 1  1 1    21． A 为三阶实矩阵， R ( A) 2 ，且  （1）求 A 的特征值与特征向量（2）求 A 22. X 0 1 P 1/3 2/3 Y P P  X Y 2 2  1 -1 0 1 1/3 1/3 1/3 1 ,  2 , 3 由 1 ,  2 3 求：（1） 23.  X , Y  的分布；（2） Z  XY 的分布；（3）  XY .  X , Y  在 G 上服从均匀分布， G 由 x  ① 求边缘密度 参考答案 f X ( x) ；②求 f X |Y ( x | y ) y 0, x  y 2 与 y 0 围成。