2012考研数学三真题及答案

2012 考研数学三真题及答案 一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 曲线 y= x 2+ x 渐近线的条数为 x 2−1 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3 【答案】C。 【解析】 由 lim x 2 + x lim y= x →+∞2 x→+∞ x −1 lim x 2 + x =1= lim y = x→−∞2 x→−∞ x −1 , 得 y=1 是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； lim x 2+ x 由 得 是曲线的一条垂直渐近线； lim y= x→ 12 =∞ x=1 x →1 x −1 lim x 2 + x 由 lim y= x→−1 x →−1 2 x −1 = 1 得 x=−1不是曲线的渐近线； 2 综上所述，本题正确答案是 C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2) 设函数 ,其中 为正整数，则 ' x 2x nx f ( x )=(e −1)(e −2)⋯(e −n) (A) (−1 )n−1 ( n−1 ) ! (C) (−1 )n−1 ( n ) ! (B) (−1 )n ( n−1 ) ! (D) (−1 )n ( n ) ! 【答案】A 【解析】 【方法 1】 令 2x ,则 g ( x )=( e −2)⋯(e nx −n) f ( x )=(e x −1) g ( x ) f ' ( x)=e x g ( x )+(e x −1)g ' ( x ) f ' ( 0 )=g ( 0 )=(−1 )(−2 ) ⋯(−(n−1)) ¿ (−1 ) n−1 ( n−1 ) ! 故应选 A. 【方法 2】 n f ( 0 )=¿ 由于 f ( 0 )=0 ,由导数定义知 f ( x) (e x −1)(e 2 x −2)⋯(enx −n) =lim x x x→ 0 x →0 x (e −1) ¿ lim ∙ lim (e2 x −2)⋯(e nx −n) x x→ 0 x→0 f ' ( 0 )=lim ¿ (−1 ) (−2 ) ⋯ (− ( n−1 ) ) =(−1 )n−1 ( n−1 ) ! . 【方法 3】 排除法，令n=2,则 f ( x )=(e x −1)(e 2 x −2) f ' ( x )=e x ( e 2 x −2 ) + 2e 2 x (e x −1) f ' ( 0 )=1−2=−1 则(B)(C)(D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3) 设函数 f (t )连续，则二次积分 π 2 2 ∫ dθθ ∫ 0 (A) 2 f (r 2 )rdθr=¿ 2cos θ 2 √ 4− x ∫ dθx ∫ √ x 2+ y 2 f (x 2+ y 2 )dθy (B) 0 √ 2 x−x 2 2 √ 4− x2 f (x 2+ y 2) dθy ∫ dθx ∫ 0 2 (C) √ 2 x−x 2 √ 4− y 2 ∫ dθy ∫ √ x 2+ y 2 f (x 2+ y2 )dθx (D) 0 1+ √1− y 2 √ 4− y 2 2 f ( x 2+ y 2) dθx ∫ dθy ∫ 0 1+ √1− y 2 【答案】B。 【解析】 令 x=rcos θ , y=rsin θ ,则r =2所对应的直角坐标方程为 x 2+ y 2=4 ,r =2cos θ所对应的 直角坐标方程为 。 ( x−1)2+ y 2=1 由 π 2 2 ∫ dθθ ∫ 0 f (r 2 ) rdθr 的积分区域 2cos θ 2 cos θ1 ,即α > 2 2 (−1)n 条件收敛，知 α <2 ∑ n2−α n =1 由级数 ∞ 综上所述，本题正确答案是(D) 【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定 (5) 设 0 0 1 −1 α 1= 0 , α 2= 1 , α 3= −1 , α 4 = 1 ,其中 c 1 , c2, c 3 , c 4为任意常数，则下列向量 c1 c2 c3 c4 [] [] [ ] [ ] 组线性相关的为 (A)α 1 , α 2 , α 3 (C)α 1 , α 3 , α 4 (B)α 1 , α 2 , α 4 (D)α 2 ,α 3 , α 4 【答案】C。 【解析】 个 维向量相关 n n ⇔|α 1 , α 2 , ⋯ α n|=0 0 1 −1 |α 1 , α 3 , α 4|= 0 −1 1 =0 c 1 c3 c 4 显然 | | 所以α 1 , α 3 , α 4 必线性相关 综上所述，本题正确答案是(C)。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关 1 0 0 (6) 设 A 为 3 阶矩阵， P为 3 阶可逆矩阵，且 P AP= 0 1 0 .若 0 0 2 [ ] −1 P=( α 1 , α 2 , α 3 ) ,Q=(α 1 +α 2 , α 2 , α 3) 1 0 0 2 0 0 0 1 ,则 Q−1 AQ =¿ 1 0 0 1 0 0 0 2 [ ] [ ] [ ] [ ] (A) 0 (B) 0 2 0 0 (C) 0 1 0 0 0 2 2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1 【答案】B。 【解析】由于 P经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为Q ，有 1 0 0 Q=P 1 1 0 =P E 21(1) 0 0 1 [ ] 那么 Q−1 AQ =[ P E 21(1)]−1 AP E21 (1)=E21 (1)−1 P−1 AP E21 (1) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ¿ −1 1 0 0 1 0 1 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 [ ][ ] [ ] [ ] 综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换 (7) 设随机变量 X ,Y 相互独立，且都服从区间 上的均匀分布，则 (0,1) P { X +Y 2 ≤1 } =¿ 1 1 4 2 π (D) π (C) 8 4 (A) (B) 【答案】D。 【解析】 ❑ P { X 2 +Y 2 ≤1 } = ∬ 2 f (x , y)dθxdθy 2 x + y ≤1 而 f ( x , y )=f X ( x ) f Y ( y )= y <1, {1,0< x0,<1,0< 其他 即 f ( x , y )是在正方形0< x <1,0< y <1上等于常数 1，其余地方均为 0， ❑ ∬ 2 2 f ( x , y )dθxdθy 实际上就是单位圆 x 2+ y 2 ≤1 在第一象限的面积。 x + y ≤1 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布 (8) 设 X 1 −X 2 | X 3+ X 4 −2| X 1 , X 2 , X 3 , X 4为来自总体 N ( 1, σ 2 ) (σ >0)的简单随机样本，则统计量 的分布为 (A) N ( 0,1 ) (B)t (1) (C) (D) χ 2 (1) F (1,1) 【答案】B。 【解析】 1， X 1 −X 2 N ( 0, 2 σ 2 )，故 2， √ 2 X 1−X 2 N ( 0,1 ) ； √2 σ ，故 X 3 + X 4−2 X 3 + X 4−2 N ( 0, 2 σ ) ， X 3 + X 4−2 N ( 0,1 ) ( √2 σ √2 σ ) 2 相互独立。 X 1−X 2 与 X 3 + X 4−2 也相互独立， 与 X 1 −X 2 X 3 + X 4−2 √2 σ ( √2 σ ) X 1−X 2 √ 2 σ = X 1−X 2 t (1) 所以 | X 3+ X 4 −2| | X 3 + X 4 −2| √2 σ 综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念 二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。） 1 (9) lim ( tan x) cos x−sin x =¿ 。 π 4 【答案】e−√ 2。 【解析】这是一个‘1∞’型极限，由于 1 cos x−sin x 1 cos x−sin x ( tan x ) =[1+(tan x−1)] lim tan x−1 lim tan x −1 lim −1 x→ π 4 x→ cos x−sin x = π 4 x→ cos x(1−tanx) 所以 lim ( tan x) 1 cos x−sin x = π 4 cos x =−√ 2 =e−√ 2 π x→ 4 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (10)设函数 f ( x )= √ x ,∧x ≥1 y=f ( f ( x ) ) , dθy {2lnx−1,∧x dθx | <1 , 则 x=e =¿。 , χ 2 (1) X 3 + X 4−2 2 | X 3 + X 4 −2| ( ) /1= √2 σ √ 2σ 3， x→ 2