2014考研数学一真题及答案

2014 考研数学一真题及答案 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． １．下列曲线有渐近线的是 （A） y  x  sin x （B） y  x 2  sin x 1 1 （D） y  x 2  sin x x 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． （C） y  x  sin 【详解】对于 y  x  sin 近线 y  x 应该选（C） 1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y  x ) lim sin 0 ，所以有斜渐 x   x   x   x x x 2．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x )  f ( 0)(1  x )  f (1) x ，则在 [0,1] 上（ ） （A）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x )  g( x ) （B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x )  g ( x ) （C）当 f ( x ) 0 时， （D）当 f ( x )  g( x ) f ( x ) 0 时， f ( x )  g( x ) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如 果对区间上任意两点 x1 , x 2 及常数 0  1 f  (1   ) x1  x 2  (1   ) f ( x1 )  f ( x 2 ) 显然此题中 x1 0, x 2 1,   x f (0)(1  x )  f (1) x  g ( x ) 故当 f ( x ) 0 ，则 ，而 ，恒有 ，则曲线是凸的． (1   ) f ( x1 )  f ( x 2 )  f  (1   ) x1  x 2   f ( x ) 时，曲线是凸的，即 ， f  (1   ) x1  x 2  (1   ) f ( x1 )  f ( x 2 ) ，也就是 f ( x )  g ( x ) ，应该选（C） 【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x )  f ( x )  g ( x )  f ( x )  f (0)(1  x )  f (1) x ，则 F (0)  F (1) 0 ，且 F "( x )  f "( x ) ，故当 f ( x ) 0 时，曲线是凸的，从而 F ( x )  F (0)  F (1) 0 F ( x )  f ( x )  g ( x ) 0 ，也就是 f ( x )  g ( x ) ，应该选（C） 3．设 f ( x ) 是连续函数，则 1dy 1   0 （Ａ） 1 x 1 dx  0 0  f ( x , y )dy  y 1 y 2 f ( x , y )dy  1 x 2 0 dx  1 0 1 f ( x , y )dy ，即 （Ｂ） 1 1 x1 0 0 dx  0 0 f ( x , y )dy  dx  1  Ｃ ( 1 cos   sin  0  2 0  d  ） 1 cos   sin  0  f ( r cos , r sin  )dr    d  2 （ f ( r cos , r sin  )dr Ｄ 1  2 0 f ( x , y )dy 1 x 2 ） 1   d cos sin f (r cos , r sin )rdr   d cos sin f (r cos , r sin )rdr 0 0 2 【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示 如果换成直角坐标则应该是 1 x 2 0 dx  1 f ( x , y )dy  0 1 1 x 0 0 dx  f ( x , y )dy ， （A），（B） 两个选择项都不正确； 如果换成极坐标则为 1 cos  sin  0  2 0  d  1 cos sin  0  f ( r cos , r sin )rdr    d  2 f ( r cos , r sin )rdr ． 应该选（D） ４．若函数   ( x  a cos x  b sin x ) 1  1 2    dx min  ( x  a cos x  b sin x ) 2 dx ，则 a ,bR  a1 cos x  b1 sin x  （ Ａ ） 2 sin x （ Ｂ ） 2 cos x （ Ｃ ） 2 sin x （Ｄ） 2 cos x 【 详 解 】 注     意   x  2 2 dx   3 ， 3  x cos xdx  cos x sin xdx 0  cos  2  xdx   sin 2 xdx    ， 2 ，  x sin xdx 2 ，   所以  ( x  a cos x  b sin x ) 2 dx  2  3   (a 2  b 2 )  4b  3 2 2 2 所以就相当于求函数 a  b  4b 的极小值点，显然可知当 a 0, b 2 时取得最小值，所  以应该选（A）． 2 0 a b 0 5．行列式 a 0 c 0 0 d 0 b 等于 0 d 0 c （A） （B） ( ad  bc ) 2 （C） a 2 d 2  b 2 c 2 【详解】 0 a b a 0 0 c 0 d c 0 0 0 a b  a 0 0 c d   ad a c  ( ad  bc ) 2 （D）  a 2 d 2  b 2 c 2 0 d b a 0 b0 0 c b 0 0 d 0 d c b a  bc d c b d   ad (ad  bc )  bc(ad  bc )   (ad  bc ) 2 应该选（B）． 6．设 1 , 2 , 3 是向量 1 , 2 , 3 是三维向量，则对任意的常数 K  1  k 3 ，  2  l 3 线性无关 1 , 2 , 3 （B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件 线性无关，则 1  （  1  k 3 ，  2  l 3 ） ( 1 ,  2 ,  3 ) 0 k  矩阵 ，向量 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件 【详解】若向量 k, l 的秩都等于 2，所以向量  1  k 3 ， 0  1  ( 1 ,  2 ,  3 ) K ，对任意的常数 k , l ， l   2  l 3 一定线性无关．  1  0  0       而当  1  0  , 2  1  ,  3  0  时，对任意的常数 k , l ，向量  1  k 3 ，  2  l 3 线性  0  0  0       无关，但 线性相关；故选择（A）． 1 , 2 , 3 7．设事件 A，B 想到独立， P ( B ) 0.5, P ( A  B ) 0.3 则 P ( B  A) （ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 【详解】 P ( A  B ) 0.3  P ( A)  P ( AB)  P ( A)  P ( A) P ( B )  P ( A)  0.5 P ( A) 0.5 P ( A) 所 以 P ( A) 0.6 ， P ( B  A)  P ( B )  P ( AB ) 0.5  0.5 P ( A) 0.2 ． 故 选 择 （B）． 8．设连续型随机变量 X1 , X 2 相互独立，且方差均存在， 1 2 X1 , X 2 的概率密度分别为 f1 ( x ), f 2 ( x ) ， 随 机 变 量 Y1 的 概 率 密 度 为 f Y ( y )  ( f1 ( y )  f 2 ( y )) ， 随 机 变 量 1 3 1 Y2  ( X 1  X 2 ) ，则 2 （A） EY1  EY2 , DY1  DY2 （C） EY1  EY2 , DY1  DY2 （D） EY1  EY2 , DY1  DY2 【详解】 EY1  EY12  （B） EY1  EY2 , DY1  DY2 1  1 y( f1 ( y )  f 2 ( y ))dy   EX 1  EX 2   E (Y2 ) ，  2  2 1  2 1 1 y ( f1 ( y )  f 2 ( y ))dy  EX 12  EX 22 ，    2 2 2 1 1 1 1 1 DY1  E (Y12 )  E 2 (Y1 )  EX 12  EX 22  E 2 ( X 1 )  E 2 ( X 2 )  E ( X 1 ) E ( X 2 ) 2 2 4 4 2 1 1 1 1 1 2  D( X 1 )  D( X 2 )  E  X 1  X 2   D( X 1 )  D( X 2 )  DY2 4 4 4 4 4 故应该选择（D）． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．曲面 z  x 2 (1  sin y )  y 2 (1  sin x ) 【 详 解 】 曲 面 z x 在点 (1,0,1) z  x 2 (1  sin y )  y 2 (1  sin x )  , z y , 1 |(1, 0 ,1) ( 2, 1, 1) ， 所 以 处的切平面方程为 在 点 切 (1,0,1) 平 ． 处 的 法 向 量 为 面 方 程 为 2( x  1)  (  1)( y  0)  (  1)( z  1) 0 ，即 2 x  y  z  1 0 ． 10 ． 设 f ( x ) 为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 f ' ( x ) 2( x  1), x   0,2 ， 则 f (7 )  ． 【详解】当 x   0,2 时， f ( x )  2( x  1)dx  x 2  2 x  C ，由 f ( 0) 0 可知 C 0 ，  即 f ( x)  x 2  2 x 11．微分方程 ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 xy' y(ln x  ln y ) 0 满足 f ( 7 )  f (  1)  f (1) 1 y(1) e 3 的解为 ． ． dy y y y  ln ，这是一个齐次型方程，设 u  ，得到通解为 dx x x x ，将初始条件 代入可得特解为 ． y  xe Cx 1 y  xe 2 x 1 y(1) e 3 【详解】方程的标准形式为 12．设 L 是柱面 x 2  y 2 1 和平面 y  z 0 的交线，从 方向，则曲线积分 zdx  ydz  ． L 4 z 轴正方向往负方向看是逆时针 【详解】由斯托克斯公式 dydz  L Pdx  Qdy  Rdz    x  P dzdx  y Q dxdy  可知 z R dydz  dzdx   dxdy   dxdy  ． zdx  ydz  L  其中  :  y  z  x 2 取上侧， 0  y 2 1 13．设二次型 D xy  ．  D xy  ( x , y ) | x 2  y 2 1 f ( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  2ax1 x 3  4 x 2 x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范 围是 ． 【详解】由配方法可知 f ( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  2ax1 x 3  4 x 2 x 3 ( x1  ax3 ) 2  ( x 2  2 x3 ) 2  ( 4  a 2 ) x 32 由于负惯性指数为 1，故必须要求 4  a 2 0 ，所以 a 的取值范围是   2,2 ． 14．设总体 X 的概率密度为 X 1 , X 2 , , X n  2x ,   x  2  f ( x ,  )   3 2  其它  0, 是来自总体的简单样本，若 ，其中  是未知参数， n C  X i2 是  2 的无偏估计，则常数 C = i 1 ． 【详解】 E ( X 2 )    n x2  2 的无偏估计，故 Cn  5 2 2x 5 2 2 dx   2 ，所以 E  C X i  Cn  ，由于 C  X i 是 2 2 3 2 i 1  i 1   5 2 ． 1 ， C  2 5n 三、解答题 15．（本题满分 10 分） x 求极限 lim x    (t 1 2 1 t ( e  1)  t )dt 1 x ln(1  ) x ． 2 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 5 n