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- 发布者:郝悦皓
2014 考研数学二真题及参考答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
小,
(A) (2, )
1
2
(B) (1, 2)
(C) ( ,1)
1
2
(D) (0, )
(2) 下列曲线中有渐近线的是
(
(A)
(3) 设函数
[0,1]
(B)
y x sin x
(C) y x sin
f ( x)
上
(
)
1
x
y x 2 sin x
2
(D) y x sin
具有 2 阶导数,
g ( x) f (0)(1 x) f (1) x
1
x
,则在区间
)
(A) 当 f ( x ) 0 时, f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x )
(C) 当 f ( x ) 0 时, f ( x) g ( x)
(B)
当 f ( x ) 0 时 ,
(D) 当 f ( x) 0 时 ,
f ( x) g ( x)
(4)
x t 2 7
曲 线
2
y t 4t 1
(
上 对 应 于 t 1 的 点 处 的 曲 率 半 径 是
)
(A) 10
50
(B) 10
100
(C)
10 10
(D)
(5)
(
5 10
设 函 数
, 若
f ( x ) arctan x
f ( x ) xf ( )
, 则
2
x 0 x 2
lim
)
(A) 1
(B)
(6) 设函数
数
(
u ( x, y )
,
2
3
(C)
在有界闭区域
且
满
D
D
2u
0 及
xy
足
(D)
1
3
的内部具有 2 阶连续偏导
2u 2u
2 0 ,
2
x y
则
)
(A)
(B)
(C)
(D)
u ( x, y )
的最大值和最小值都在
u ( x, y )
u ( x, y )
u ( x, y )
0
a
(7) 行列式
0
c
(A)
(C)
设
D
的最大值和最小值都在
的最大值在
的最小值在
a
0
c
0
b
0
d
0
D
D
D
的内部上取得
的内部取得,最大值在
D
D
的边界上取得
的边界上取得
0
b
0
d
)
( ad bc) 2
a 2 d 2 b 2c 2
1 , 2 , 3
的边界上取得
的内部取得,最小值在
(
(8)
上连续,在
1
2
(B)
(D)
(ad bc) 2
b2c 2 a 2 d 2
均为 3 维向量,则对任意常数
1 k 3 , 2 l 3 线性无关是向量组
1 , 2 , 3 线性无关的
k,l
,向量组
(
)
(B) 充分非必要条件
(D) 既非充分也非必要条件
(A) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件
二、填空题:9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定
位置上.
((9)
1
(10) 设
则
1
dx __________.
x 2x 5
2
f ( x)
f (7)
是周期为 的可导奇函数,且
4
f ( x) 2( x 1), x [0, 2]
,
__________.
7
4
(11) 设 z z ( x, y ) 是 由 方 程 e 2 yz x y 2 z 确 定 的 函 数 , 则
dz
1 1
( , )
2 2
__________.
(12) 曲线 r r ( ) 的极坐标方程是 r ,则 L 在点 ( r , ) (
切线的直角坐标方程是__________.
(13) 一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于
x
轴的区间
[0,1]
, ) 处的
2 2
上,若其线密度
x x 2 2 x 1 ,则该细棒的质心坐标 x __________.
(14) 设 二 次 型 f x , x , x x 2 x 2 2ax x 4 x x 的 负 惯 性 指 数 为
1 2 3 1 2
1 3
2 3
1,则 a 的取值范围为_______.
三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
2 1t
1 t e 1 t dt
求极限
.
lim
x
1
x 2 ln 1
x
x
(16)(本题满分 10 分)
已知函数
y y x 满足微分方程 x 2 y 2 y 1 y ,且 y 2 0 ,求
y x 的极大值与极小
值.
(17)(本题满分 10 分)
设 平 面 区 域
x sin x 2 y 2
x y
D
D x, y 1 x 2 y 2 4, x 0, y 0 , 计 算
dxdy .
(18)(本题满分 10 分)
设 函 数
f (u )
具 有 二 阶 连 续 导 数 ,
z f (e x cosy)
满 足
2 z 2 z
,若
,求
f (u ) 的 表 达
2 (4 z e x cos y ) e 2 x
f (0) 0, f ' (0) 0
2
x y
式.
(19)(本题满分 10 分)
设函数
f ( x ), g ( x)
[a, b]
上连续,且
f ( x)
单调增加,
.证明:
0 g ( x) 1
(I) 0
的区间
x
g (t )dt x a, x [a, b] ,
(II)
a
a
a
b
a g (t ) dt f ( x ) d x b f ( x ) g( x )dx .
a
(20)(本题满分 11 分)
设
函
数
x
f (x)
, x 0,1 ,
1 x
定
义
函
数
列
f1 ( x) f ( x ), f 2 ( x) f ( f1 ( x )), ,
f n ( x) f ( f n 1 ( x)),
,记
Sn
是由曲线
成平面图形的面积,求极限 lim nS .
n
(21)(本题满分 11 分)
n
y f n ( x)
,直线
x 1
及 轴所围
x
已知函数
f ( x, y )
满足 f
y
2( y 1) ,且
f ( y, y ) ( y 1) 2 (2 y ) ln y,
线
y 1
求曲线
f ( x, y ) 0
所围成的图形绕直
旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分 11 分)
1 2 3 4
设矩阵 A 0 1 1 1 , E 为三阶单位矩阵.
1 2 0 3
(I)求方程组 Ax 0 的一个基础解系;
(II)求满足 AB E 的所有矩阵.
(23)(本题满分 11 分)
1
1
证明 n 阶矩阵
1
1
1
1
1 0 0 1
1 0 0 2
与
相似.
1 0 0 n
参考答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
小,则
(A) (2, )
(B) (1, 2)
1
2
(C) ( ,1)
1
2
(D) (0, )
【答案】B
ln (1 2 x)
(2 x)
lim
lim 2 x 1 0
x 0
x
0
x 0
x
x
【解析】由定义 lim
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