2015考研数学二真题及答案

2015 考研数学二真题及答案 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )  (A)  2   (B) 2   (C) 2   (D) 2 1 dx x ln x dx x 1 dx x ln x x dx ex 【答案】(D)) x dx  ( x  1)e x x  e 【解析】 ，则   2 x dx  ( x  1)e  x x e  2 3e  2  lim ( x  1)e  x 3e  2 x   . 2 (2) 函数 f  x  lim(1  t 0 sin t xt ) x 在 ( , ) 内 ( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D)) 有无穷间断点 【答案】(B) 2 2 sin t x lim sin t xt f ( x) lim(1  ) et 0 x t e x t 0 x 【解析】 ， x 0 ，故 f ( x) 有可去间断 点 x 0 . 1    x cos x  , x  0 f  x   0, x 0 ' (  0,   0) , 若 f  x  在  (3) 设 函 数 x 0 处连续则:( ) (A)    0 (B) 0     1 (C)    2 (D)) 0     2 【答案】(A) 【解析】 x  0 时， f  x  0 f  0  0 1 0 1 x f   0   lim  lim x  1 cos  x 0 x  0 x x 1 1 1 f  x   x  1 cos     1 x sin       1 x  0 时， x x x x cos  x  1 cos f  x  1 1   x    1 sin   x x 在 x 0 处 连 续 则 ： f  0   f   0   lim x  1 cos x 0 1 0 x 得   1 0 1 1   f  0   lim+ f  x  = lim+   x  1 cos    x    1 sin   =0 x 0 x 0  x x  得：     1  0 ，答案选择 A   ,   内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形 (4)设函数 f ( x ) 在 如 图 所 示 ， 则 曲 线 y  f ( x) 的 拐 点 的 个 数 为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)) 3 【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。 f y  f  x  y,  x 2  y 2 u f  u, v  x (5) 设函数 满足  ，则 f v u 1 v 1 u 1 v 1 与 依次是 ( ) 1 ,0 (A) 2 (B) (C) (D)) 0, 1 2  1 ,0 2 0,  1 2 【答案】(D)) 【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令 u  x  y, v  y u uv y x ,y f ( x  y, ) x 2  y 2 x ，则 1 v 1  v ，从而 x 变为 2 2 u 2 (1  v)  u   uv  f (u , v)       1 v .  1 v   1 v  故 f 2u (1  v) f 2u 2  ,  u 1 v v (1  v )2 ， f u 因而 u 1 v 1 0, f v u 1 v 1  1 2 .故选（D)）. (6) 设 D 是 第 一 象 限 由 曲 线 2 xy 1 ， 4 xy 1 与 直 线 y  x ， y  3x 围 成 的 平 面 区 域 ， 函 数 f  x, y  在 D 上 连 续 ， 则 f  x, y  dxdy  ( ) D (A) (B) (C) (D))  3  4 1  3  4  d sin12 f  r cos , r sin   rdr 2sin 2 1  3  4  d  sin12 f  r cos  , r sin   rdr 2sin 2 1  3  4  d sin12 f  r cos , r sin  dr 2sin 2 1  d  sin12 f  r cos , r sin  dr 2sin 2 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为    1 1  D (r , )   , r   4 3 2sin 2 sin 2   所以  3  4 1 si n 2 1 2sin 2 f ( x, y)dxdy  d  D f (r cos  , r sin  ) rdr 故选 B. 1    1 1 1    b  d  A  1 2 a    d2   1 4 a2   ,   .若集合   1, 2 ，则线 (7) 设矩阵 性 方 程 组 Ax b 有 无 穷 多 解 的 充 分 必 要 条 件 为 ： ( ) (A) a  , d   (B) a  , d   a  , d   (D)) a  , d   (C) 【答案】D) 【解析】 1 1 1  ( A, b)  1 2 a  1 4 a2  1  d  d 2  1 1 1 1    a 1 d1 0 1   0 0 ( a  1)(a  2) ( d  1)( d  2)   ， 由 r ( A) r ( A, b)  3 ，故 a 1 或 a 2 ，同时 d 1 或 d 2 。故选（D)） (8) 设 二 次 型 f  x1 , x2 , x3  在 正 交 变 换 x  Py 下 的 标 准 形 为 2 y12  y22  y32 ， 其 中 P (e1 , e2 , e3 ) ， 若 Q (e1 ,  e3 , e2 ) 则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为 ： ( ) (A) (C) 2 y12  y22  y32 2 y12  y22  y32 (B) 2 y12  y22  y32 (D)) 2 y12  y22  y32 【答案】(A) 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax  y T ( PT AP ) y 2 y12  y22  y32 .且