2016考研数学二真题及答案

2016 考研数学二真题及答案 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1 １．当 x  0  时，若 ln  (1 2 x ) ， 均是比 (1  cos x )  x 高阶的无穷小，则  的可能 取值范围是（ ） （A） ( 2,) （B） (1,2) （C） ( 1 ,1) 2 （D） ( 0, 【详解】 ln  (1  2 x ) ~ 2 x  ，是  阶无穷小， (1  cos x ) 1  1 ~ 2  1  1 ) 2 2  x 是 2 阶无穷小，  由题意可知  所以  的可能取值范围是 (1,2) ，应该选（B）．       1 2  1 2．下列曲线有渐近线的是 （A） y  x  sin x （B） y  x 2  sin x （C） y  x  sin 【详解】对于 y  x  sin 近线 y  x 应该选（C） 1 x （D） y  x 2  sin 1 x 1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y  x ) lim sin 0 ，所以有斜渐 x  x x  x  x x 3．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x )  f ( 0)(1  x )  f (1) x ，则在 [0,1] 上（ ） （A）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x )  g( x ) （B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x )  g ( x ) （C）当 f ( x ) 0 时， f ( x )  g( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x )  g( x ) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显 然 g ( x )  f (0)(1  x )  f (1) x 就是联接 ( 0, f ( 0)), (1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ( x ) 0 时，曲线是凹的，也就是 f ( x )  g( x ) ，应该选（D） 【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x )  f ( x )  g ( x )  f ( x )  f (0)(1  x )  f (1) x ，则 F (0)  F (1) 0 ，且 F "( x )  f "( x ) ，故当 f ( x ) 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x )  F (0)  F (1) 0 F ( x )  f ( x )  g ( x ) 0 ，也就是 f ( x )  g ( x ) ，应该选（D） 4．曲线  x  t 2  7,  2  4t  1  y t （Ａ） 上对应于 10 （Ｂ） 10 50 100 t 1 的点处的曲率半径是（ (Ｃ） 10 10 （Ｄ） 5 10 ） ，即 【详解】 曲线在点 ( x , f ( x )) 处的曲率公式 本题中 dx dt y" K  (1  y ' 2 ) 3 ，曲率半径 R  1 ． K 2  2t , ，所以 dy 2t  4 ，  2 dy 2， 2 d y 1  2t  4  1  t   3 dt dx 2t t 2 dx 对应于 t 1 的点处 y' 3, y"   1 ，所以 K  y" (1  y' 2 )3 1  10 10 2t ，曲率半径 R  t 1 10 10 ． K 应该选（C） 5．设函数 f ( x ) arctan x （Ａ） 1 ，若 （Ｂ） f ( x )  xf ' ( ) 2 3 ，则 （Ｃ） 2 （  x 0 x 2 lim 1 2 （Ｄ） ） 1 3 1 1 ，（2） x  0时, arctan x  x  x 3  o( x 3 ) ． 2 3 1 x 【详解】注意（1） f ' ( x )  由于 f ( x )  xf ' ( ) ．所以可知 1 f ( x ) arctan x ， 2 x  arctan x ，   f ' ( )    2 x x (arctan x ) 2 1  2 x  arx tan x lim 2 lim lim x 0 x x  0 x (arctan x ) 2 x 0 x  (x  1 3 x )  o( x 3 ) 1． 3  3 3 x 6．设 u( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及  2u 2u ，则（  2u 0  0 xy x 2 y 2 ）． （A） u( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； （B） u( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部； （C） u( x , y ) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上； （D） u( x , y ) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上． 【详解】 u( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x , y ) 在 D 内必然有最大值和最 小 值 ． 并 且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点 ( x 0 , y0 ) ， 也 就 是 A u u  0 ， 在 这 个 点 处 x y ，显然 不 2u 2u 2u  2 u ，由条件，显然 u( x , y ) , C  , B   AC  B 2  0 xy yx x 2 y 2 是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边 界上． 所以应该选（A）． 0 a b 0 7．行列式 a 0 0 c 0 d b 等于 0 c 0 0 d （A） （B） ( ad  bc ) 2  ( ad  bc ) 2 （C） a 2d 2  b 2c 2 （D）  a 2d 2  b 2c 2 【详解】 0 a b a 0 0 c 0 d c 0 0 0 a b  a 0 0 c d 0 d b a 0 b0 0 c 0 d 0 c b a 0  ad c d b a  bc d c b  ( ad  bc ) 2 d 应该选（B）． 8．设 1 , 2 , 3 是向量 1 , 2 , 3 是三维向量，则对任意的常数 K  1  k 3 ，  2  l 3 线性无关 1 , 2 , 3 （B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件 线性无关，则 1  （  1  k 3 ，  2  l 3 ） ( 1 ,  2 ,  3 ) 0 k  矩阵 ，向量 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件 【详解】若向量 k, l 的秩都等于 2，所以向量  1  k 3 ， 0  1  ( 1 ,  2 ,  3 ) K ，对任意的常数 k , l ， l   2  l 3 一定线性无关．  1  0  0       而当  1  0  , 2  1  , 3  0  时，对任意的常数 k , l ，向量  1  k 3 ，  2  l 3 线性  0  0  0       无关，但 线性相关；故选择（A）． 1 , 2 , 3 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． 1   1 dx  x  2x  5 2 ． 【详解】 1   1 1 dx 1 x 1 1 1   3 ． dx    arctan |     (  )   2   2 2 4 2  8 x  2x  5 ( x  1)  4 2 2 10 ． 设 f ( x ) 为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 f ' ( x ) 2( x  1), x   0,2 ， 则 f (7 )  ． 【详解】当 x   0,2 时， f ( x )  2( x  1)dx  x 2  2 x  C ，由 f ( 0) 0 可知 C 0 ，  即 f ( x)  x 2  2 x ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 f ( 7 )  f (  1)  f (1) 1 ． 7 11．设 z  z ( x , y ) 是由方程 e 2 yz  x  y 2  z  确定的函数，则 dz | 1 , 1    2 2 4 ． 【详解】设 F ( x , y , z ) e 2 yz  x  y 2  z  7 ， F x 1, F y 2 ze 2 yz  2 y , Fz 2 ye 2 yz  1 ， 4 当  x y  Fy F 1 z 1 ， 所 以 dz | 1 1   1时 ， ， z  x   ，   z 0  ,   2 2 x Fz 2 y Fz 2 2 1 1 dx  dy ． 2 2    12．曲线 L 的极坐标方程为 r  ，则 L 在点 (r , )  ,  处的切线方程为  2 2 x 【详解】先把曲线方程化为参数方程    y x 0, y  程为 y   r ( ) cos   cos   r ( ) sin   sin  ，于是在   ．  处， 2  ， dy |  sin    cos |  2 ， 则 在 点     处的切线方 (r , )  ,    L dx 2 cos   sin  2  2  2 2  2 2   ( x  0) ，即 y   x . 2   2 13．一根长为 1 的细棒位于 细棒的质心坐标 x  x 轴的区间  0,1 上，若其线密度  ( x)  x 2  2 x  1 ，则该 ． 1 1 0 0 11  x ( x )dx  ( x  2 x  x )dx  12  11 ． 【详解】质心坐标 x  5   ( x )dx (  x  2 x  1)dx 3 20 14．设二次型 3 1 1 0 0 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  2ax1 x 3  4 x 2 x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范 围是 ． 【详解】由配方法可知 f ( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  2ax1 x 3  4 x 2 x 3 ( x1  ax3 ) 2  ( x 2  2 x3 ) 2  ( 4  a 2 ) x 32 由于负惯性指数为 1，故必须要求 4  a 2 0 ，所以 a 的取值范围是   2,2 ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 1 x 求极限 lim x   2  ( t (e t  1)  t )dt 1 1 x ln(1  ) x ． 2 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 1 x lim 2  (t (e t  1)  t )dt 1 x   x 2 ln(1  1 ) x x  lim  (t 2 1 1 t (e  1)  t )dt x x   1 lim( x 2 (e x  1)  x ) x  1 1 1   1 lim x 2 (   o( 2 )  x   2 x  x 2x x   2 16．（本题满分 10 分） 已知函数 y  y ( x ) 满足微分方程 x 2  y 2 y' 1  y' ，且 y( 2) 0 ，求 y( x ) 的极大值 和极小值． 【详解】 解：把方程化为标准形式得到 (1  y 2 ) dy 1  x 2 ，这是一个可分离变量的一阶微分方程， dx 2 两边分别积分可得方程通解为： 1 y 3  y  x  1 x 3  C ，由 y( 2) 0 得 C  ， 3 3 3 即 1 3 1 2 y  y x  x3  ． 3 3 3 2 2 2 2 2 2 令 dy 1  x ，得 ，且可知 d y  2 x (1  y )  2 y(1  x ) ；   0  x   1 dx 1  y 2 dx 2 (1  y 2 ) 3 当 x 1 时，可解得 y 1 ， y"   1  0 ，函数取得极大值 y 1 ； 当 x  1 时，可解得 y 0 ， y"  2  0 ，函数取得极小值 y 0 ． 17．（本题满分 10 分） 设平面区域  2  2 D  ( x , y ) | 1  x  y 4, x 0. y 0 ．计算 x sin( x 2  y 2 ) dxdy  x y D 【详解】由对称性可得 2 2 x sin( x 2  y 2 ) y sin( x 2  y 2 ) 1 ( x  y ) sin( x  y ) dxd   dxd   dxdy  x y x y 2 D x y D D  2 2 2 1 sin( x  y ) 1 2 3 dxd  d  r sin rdr    0 1 2 D 1 2 4 18．（本题满分 10 分） 设函数 f (u) 具有二阶连续导数， z  f ( e x cos y ) 满足  2 z  2 z ．  2 ( 4 z  e x cos y )e 2 x 2 x y 若 f (0) 0, f ' (0) 0 ，求 f (u) 的表达式． 【详解】 设 u e x cos y ，则 z  f ( u)  f (e x cos y ) z  f ' ( u )e x cos y , x ; ， 2z  f " ( u )e 2 x cos 2 y  f ' ( u) x 2