2016考研数学三真题及答案

2016 考研数学三真题及答案 壱、 填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. n 1  （1） lim    n   n    1 n ______ . f x （ 2 ） 设 函 数 f ( x) 在 x 2 的 某 邻 域 内 可 导 , 且 f  x  e   ， f  2  1 ， 则 f  2  ____ . 1 2  2 （ 3 ） 设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 f  0   , 则 z  f 4 x  y dz  1,2  2  在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 _____ . （4）设矩阵 A  2 1  ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 B BA B  2 E   1 2 E   （5）设随机变量 X 与Y B  . 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则   P  max  X , Y  1 _______. 1 2 （6）设总体 X 的概率密度为 f  x   e 单随机样本，其样本方差为 S2 ，则  x     x   , X 1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的简 ES 2 ____ . 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 的增量， y  f ( x) y与 dy (A) (C) 具有二阶导数，且 分别为 0  dy  y y  dy  0 f ( x) 在点 x0 f ( x )  0, f ( x )  0 处对应的增量与微分，若 . (B) . (D) 0  y  dy dy  y  0 h 0 f  0  0与 f    0  存在 (C) f 0 0与 f  0 存在      x 为自变量 在点 x  0 x ，则 . . [ ]   1 ，则 f h （8）设函数 f x 在   x 0 处连续，且 lim (A) ， 2 h2 (B) f 0 1与 f  0 存在      (D) f 0 1与 f  0 存在      [ ] x0 处 （9）若级数  a n 收敛，则级数 n 1 (A)   an 收敛 . （B） n 1 (C)   ( 1) n an 收敛. n 1   an an1 收敛. (D) n 1 （10）设非齐次线性微分方程 an  an 1 收敛. 2 n 1   y  P( x) y Q ( x) [ 有两个不同的解 ] y1 ( x), y2 ( x), C 为任意 常数，则该方程的通解是 （Ａ） C y ( x )  y ( x ) .  1  2 （Ｃ） C y ( x )  y ( x ) .  1  2 （Ｂ） y ( x)  C y ( x)  y ( x) .  1  1 2 （Ｄ） y ( x)  C y ( x)  y ( x)  1  1 2 [ ] （11）设 f ( x, y )与 ( x, y ) 均为可微函数，且  ( x, y ) 0 ，已知 ( x , y ) 是 f ( x, y ) 在约 0 0 y 束条件  ( x, y ) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (B) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . (D) 若 f x( x0 , y0 ) 0 ，则 f y( x0 , y0 ) 0 . （12）设 [ ] 1 ,  2 , ,  s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是 (A) 若 1 ,  2 , ,  s 线性相关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. (B) 若 1 ,  2 , ,  s 线性相关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. (C) 若 (D) 若 1 ,  2 , ,  s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. 1 ,  2 , ,  s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. [ ] （13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的  1 倍加到第  1 1 0 2 列得 C ，记 P  0 1 0  ，则    0 0 1   （Ａ） （Ｃ） . （Ｂ） . （Ｄ） C P  1 AP C P T AP （14）设随机变量 X 服从正态分布 N ( 1 ,  12 ) C PAP  1 C PAP T ， Y . ［ . 服从正态分布 ］ N (  2 ,  22 ) ，且 P  X  1  1  P  Y   2  1 则必有 (A) (C) (B) 1   2 (D) 1   2 1   2 [ 1   2 ] 三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分） 设 y f  x, y    1  xy x ,求 y , x  0, y  0 arctan x 1  y sin (Ⅰ) g  x   lim f  x, y  ； y   (Ⅱ) lim g  x  .  x 0 （16）（本题满分 7 分） 计算二重积分  y 2  xy dxdy ，其中 D 是由直线 y  x, y 1, x 0 所围成的平面区域. D （17）（本题满分 10 分） 证明：当 0  a  b   时， b sin b  2 cos b   b  a sin a  2cos a   a . （18）（本题满分 8 分） 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M 1, 0 ，其上任意点 P x, y x 0 处的切线      斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a >0 ）. (Ⅰ) 求 L 的方程； (Ⅱ) 当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 8 时，确定 a 的值. 3 （19）（本题满分 10 分） 求幂级数 n 1   1 x 2n1 的收敛域及和函数 s( x) .  n 1 n  2n  1  （20）（本题满分 13 分） 设 4 维 向 量 组   1  a,1,1,1 T ,   2, 2  a, 2, 2 T ,   3, 3,3  a,3 T ,   2   3   1 T  4  4, 4, 4, 4  a  ，问 a 为何值时 1 ,  2 , 3 , 4 线性相关?当 1 ,  2 , 3 , 4 线性相关时, 求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分 13 分） 设 3 阶实对称矩阵 T T A 的各行元素之和均为 3,向量 1   1, 2,  1 ,  2  0,  1,1 是 线性方程组 Ax 0 的两个解. (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵 （Ⅲ）求 A Q 和对角矩阵  ,使得 Q T AQ  ； 6 3  ，其中 为 3 阶单位矩阵. E  A E 2   及 （22）（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 1 2 , 1 x  0  1 f X  x   , 0  x  2 ， 4 0, 其他   令 Y  X 2 , F x, y 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数.   (Ⅰ)求 (Ⅱ) Y 的概率密度 f y ； Y   Cov( X , Y ) (Ⅲ) ；  1  F   , 4 .  2  （23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为  , 0  x  1,  f  x;  1   ,1  x  2, 0, 其他,  其中 是未知参数 0    1 ， X , X ..., X 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本    N X 1 2 n 值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数. （Ⅰ）求  的矩估计； （Ⅱ）求  的最大似然估计 参考答案 填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.  n 1  lim   n   n  （1）   1 n 1. 【分析】将其对数恒等化  n 1  【详解】 lim   n   n  而数列 N eln N   1 n lim e 求解.  n 1  ln    n  (  1)n e n   n 1  lim (  1)n ln    n  n   ( 1)  有界， lim ln  n n1  0 ，所以 lim( 1) n n  故  n 1  lim   n   n    1 n n n  ，  n 1  . ln   0  n  e0 1 . f  x （ 2 ） 设 函 数 f ( x) 在 x 2 的 某 邻 域 内 可 导 , 且 f  x  e ， f  2  1 ， 则 f  2  2e3 . 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知， f  x e f  x  ，两边对 x 求导得   f  x  e f  x  f ( x ) e2 f  x  ， 两边再对 x 求导得 故 f ( x) 2e 2 f  x  f ( x) 2e3 f  x  f (2) 2e3 f  2 2e3 ，又 f 2 1 ，   . 1 2  2 （ 3 ） 设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 f  0   , 则 z  f 4 x  y dz  1,2  2 4dx  2dy. 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为 z y (1,2) z x (1,2)  f (4 x 2  y 2 ) 8 x  f (4 x 2  y 2 )   2 y  (1,2) (1,2) 4 ，  2 ，  在 点 (1,2) 处 的 全 微 分