2017考研数学一真题及答案

2017 考研数学一真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1  cos x , x  0在 x 0 处连续，则（ ax b, x 0  （1）若函数 f ( x )   1 2 (C )ab 0 ( A)ab   B  ab  ） 1 2  D  ab 2 【答案】A 【解析】 1 1 1 x 在 x 0 处连续  1  cos x 1 b  ab  . 选 2 lim  lim  , f ( x) 2a 2 x  0 x  0 ax ax 2a A. （2）设函数 f ( x) 可导，且 f ( x) f ' ( x)  0 ，则（ ） ( A) f (1)  f (  1) (C ) f (1)  f (  1)  B  f (1)  f (  1)  D  f (1)  f (  1) 【答案】C 【解析】  f ( x) f ' ( x)  0,  f ( x )  0 (1) 或  f ( x)  0 (2) ，只有 C 选项满足 (1) 且满足    f '( x)  0 (2)  f '( x)  0 ，所以选 C。 （3）函数 f ( x, y , z )  x 2 y  z 2 在点 ( A)12 ( B )6 ( D)2 【答案】D 【解析】 (C )4 (1, 2, 0) 处沿向量 u  1, 2, 2  的方向导数为（ ） gradf {2 xy, x 2 , 2 z},  gradf (1,2,0) {4,1, 0}  f u 1 2 2 gradf  {4,1,0} { , , } 2. u |u| 3 3 3 选 D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速 度曲线 v v1 (t ) （单位： m/s ），虚线表示乙的速度曲线 数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0 v v2 (t ) ，三块阴影部分面积的 （单位：s），则（ ） v(m / s ) 10 5 0 ( A)t0 10 ( B)15  t0  20 20 10 15 20 25 (C )t0 25 30 t (s) ( D)t0  25 【答案】B 【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为 t0  v (t)  v (t)dt 10 ，当 t 0 2 1 0 t0 t0 0 0  v1 (t)dt ,  v2 (t)dt , 则乙要追上甲，则 25 时满足，故选 C. （5）设  是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ） ( A) E   T 不可逆 (C ) E  2 T 不可逆  B  E   T 不可逆  D  E  2 T 不可逆 【答案】A 【 解 析 】 选 项 A, 由 ( E   T )    0 得 ( E   T ) x 0 有 非 零 解 ， 故 E   T 0 。即 E   T 不可逆。选项 B,由 r ( T ) 1 得  T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 2 E   T 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。其它选项类似理解。  2 0 0  2 1 0  1 0 0     （6）设矩阵 A  0 2 1 , B  0 2 0 , C  0 2 0  ,则（ ）        0 0 1   0 0 1   0 0 2  ( A) A与C 相似, B与C相似  B  A与C相似, B与C 不相似 (C ) A与C不相似, B与C相似  D  A与C 不相似, B与C 不相似 【答案】B 【解析】由 ( E  A) 0 可知 A 的特征值为 2,2,1  1 0 0 因为 3  r (2 E  A) 1 ，∴A 可相似对角化，且 A ~  0 2 0     0 0 2   由  E  B 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3  r (2 E  B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C （7）设 A, B 为随机概率，若 0  P ( A)  1, 0  P ( B)  1 ，则 P ( A B )  P( A B) 的充分必 要条件是（ ） ( A) P ( B A)  P ( B A) ( B ) P ( B A)  P ( B A) (C ) P( B A)  P ( B A) ( D) P ( B A)  P ( B A) 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。选项符合题意。 （8）设 X 1 , X 2 X n (n 2) 为来自总体 N (  ,1) 的简单随机样本，记 列结论中不正确的是（ ） n ( A) ( X i   )2 服从 2分布  B  2( X n  X 1 ) 2 服从 2分布  D  n( X   ) 2 服从 2分布 i 1 n (C )  ( X i  X )2 服从 2分布 i 1 【答案】B 【解析】 X 1 n ，则下 Xi  n i 1 X  N (  ,1), X i    N (0,1) n  (X i   ) 2   2 (n), A正确 i 1 n  (n  1) S 2  ( X i  X ) 2   2 (n  1)，C正确， i 1 1  X ~N (  , ), n ( X   )  N (0,1), n( X   ) 2 ~  2 (1), D正确, n ( X n  X 1 )2  ~ N (0, 2), ~  2 (1), 故B错误. 2 由于找不正确的结论，故 B 符合题意。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 ，则 f (3) (0) =__________ 2 1 x (9) 已知函数 f ( x )  【答案】 f (0)  6 【解析】   1 1 2 n f ( x)    (  x )  ( 1) n x 2 n   2 2 1  x 1  ( x ) n 0 n 0  f ''' ( x)  ( 1) n 2n(2n  1)(2n  2) x 2 n 3  f ''' (0) 0 n 2 (10) 微分方程 '' y  2 y '  3 y 0 【答案】 y e  x (c1 cos 2 x  c2 sin 2 x) 【解析】齐次特征方程为 故通解为 的通解为 y _________ ，（ c , c 为任意常数） 1 2  2  2  3 0  1,2  1  2i e  x (c1 cos 2 x  c2 sin 2 x) (11) 若曲线积分 xdx  aydy 在区域 内与路径无关，则 D  ( x, y ) | x 2  y 2  1 2 2 L y 1 x a __________ 【答案】 a 1 【 解 析 】 P y 4   2 xy Q 2axy 由 积 分 与 路 径 无 关 知 ,  2 , 2 2 2 2 ( x  y  1) x ( x  y  1) 2 P Q   a  1 y x (12) 幂级数   ( 1) n 1 nx n  1 在区间 ( 1,1) 内的和函数 ________ S ( x)  n 1 【答案】 s ( x )  【解析】 1 1 x 2 '   ( 1) n 1 nx n 1 n 1 ' 1     x    ( 1)n  1 x n     2  n1   1  x  (1  x)  1 0 1 （ 13 ） 设 矩 阵 A  1 1 2  ，  ,  ,  为 线 性 无 关 的 3 维 列 向 量 组 ， 则 向 量 组 1 2 3    0 1 1   A1 , A 2 , A 3 的秩为_________ 【答案】2 【解析】由 1,  2,  3 线性无关，可知矩阵 1,  2,  3 可逆，故 r  A1 , A 2 , A 3  r  A  1 ,  2 ,  3   r  A  再由 r  A  2 得 r  A1 , A 2 , A 3  2 （14）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) 0.5 ( x)  0.5 ( x 4 ) ，其中  ( x) 为标准正 2 态分布函数，则 EX _________ 【答案】2 【 解 析 】 F ( x ) 0.5 ( x )  0.5  x 4 x ( )dx   2  2  x 4 令 t ，   x ( x)dx EX 0 。 2 0.5 x  4 ( )， 2 2 故  EX 0.5 x ( x)dx      则    x ( x 4 )dx = 2 2   4  2t   (t )dt 8 1  4  t (t )dt 8 因此 E ( X ) 2 . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说