2017考研数学三真题及答案

2017 考研数学三真题及答案 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1  cos x ,x 0在 x 0 处连续，则 ax  b, x 0  1．若函数 f ( x )   1 2 1 （C） ab 0 （D） ab 2 2 1 x f ( x ) b  f (0) ，要使函数 【详解】 1  cos x 1 ， xlim 2  0 lim f ( x)  lim  lim  x 0 x 0 x  0 ax ax 2a 1 1 在 x 0 处连续，必须满足 b  ab  ．所以应该选（A） 2a 2 （A） ab  （B） ab  2．二元函数 （A） 【详解】 z x 的极值点是（ z  xy (3  x  y ) (0, 0) （B） ） （C） (0, 3)  y (3  x  y )  xy 3 y  2 xy  y 2 （D） (3, 0) ， z y (1,1) 3 x  x 2  2 xy ， 2 z 2 z 2 z 2 z  2 y ,  2 x ,  3  2 x x 2 y 2 xy yx  z 2  x 3 y  2 xy  y 0 解方程组 ，得四个驻点．对每个驻点验证 ，发现只有在 AC  B 2  z  3 x  x 2  2 xy 0  y 点 (1,1) 处满足 AC  B 2 3  0 ，且 A C  2  0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以 应该选（D） 3．设函数 f ( x) （A） 是可导函数，且满足 f (1)  f ( 1) （B） f ( x ) f ( x)  0 f (1)  f (  1) ，则 （C） f (1)  f (  1) （D） f (1)  f (  1) 【详解】设 g ( x) ( f ( x)) 2 ，则 g ( x ) 2 f ( x ) f ( x)  0 ，也就是 f ( x) 2 是单调增加函数．   1 也就得到 f (1) 2  f ( 1) 2  f (1)  f (  1) ，所以应该选（C）     4． 若级数  1    sin n  k ln(1  n 2 1  收敛，则 （ ) k n  （A） 1 （B） 2 【详解】iv n   时 ） （C）  1 （D）  2  1 1  1 2  1 1 1 1 k 1  1   1  sin  k ln(1  )   k        o  2  (1  k )  o    n n n n 2 n2  n2  n   n 2 n  1 显然当且仅当 (1  k ) 0 ，也就是 k  1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数 n 收敛，从而选择（C）． 5．设  为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） E   T （C） 【 详 不可逆 E  2 T 解 】 （B） 不可逆 矩 阵 （D）  T 的 特 E   T , E   T , E  2 T , E  2 T  1,1,1,  ,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E   T 不可逆 E  2 T 征 值 不可逆 为 1 和 的 特 征 值 分 别 为 E   T n 1 个 0,1,1, 1 0 ； ， 从 2,1,1, ,1 而 ； 存在零特征值，所以不可逆，应该选 （A）．  2 0 0  2 1 0  1 0 0 ，  ，   2 1  B  0 2 0  C  0 2 0  ，则   0 0 1  0 0 1  0 0 2       6．已知矩阵 A  0 （A） （C） A, C A, C 【详解】矩阵 相似， B, C 不相似， A, B 相似 B, C 相似 的特征值都是 （B） A, C （D） 相似， A, C 1 2 2, 3 1 B, C 不相似， 不相似 B, C 不相似 ．是否可对解化，只需要关心  2 的 情况． 0 0 0  对于矩阵 A ， 2 E  A  0 0  1  ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 存在两   0 0 1    个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ． 2  0  1 0 对于矩阵 B ， 2 E  B  0 0 0  ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 只有一    0 0 1   个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 独立的充分必要条件是（ （A） （C） A, B 相互独立， A, C 不相似故选择（B）． B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互 ） 相互独立 （B） 相互独立 AB, C B, C A, B （D） 互不相容 AB, C 互不相容 【详解】 P(( A  B)C ) P( AC  AB ) P( AC )  P( BC )  P( ABC ) P( A) P(C )  P( B) P(C )  P( ABC ) P( A  B) P(C ) ( P( A)  P( B)  P( AB)) P(C ) P( A) P(C )  P( B) P(C )  P( AB) P(C ) 显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) P( AB) P(C ) ，所以选择（C ）． 8．设 X 1 , X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N (  ,1) 的简单随机样本，若 X 1 n Xi ，  n i 1 则下列结论中不正确的是（ ） （A） n  (X   ) 2 服从  2 分布 i （B） i 1 （C） n  (X i  X ) 2 服从  2 分布 2  X n  X1  （D） n( X   ) 2 2 服从 服从 2 2 分布 分布 i 1 解：（1）显然 n  (X i ( X i   ) ~ N (0,1)  ( X i   ) 2 ~  2 (1), i 1, 2,  n 且相互独立，所以   ) 2 服从  2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的； i 1 （2） n  ( X i  X )2 (n  1)S 2  i 1 1 n （3）注意 X ~ N (  , )  也是正确的； （ 4 ） 对 (n  1) S 2 ~  2 (n  1) ，所以（C）结论也是正确的； 2 n ( X   ) ~ N (0,1)  n( X   ) 2 ~  2 (1) ，所以（D）结论 于 选 3 项 （ B ） ： X n  X1 1 ~ N (0,1)  ( X n  X 1 ) 2 ~  2 (1) ，所以（B）结论是错 2 2 ( X n  X 1 ) ~ N (0, 2)  误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．   (sin 3  x   2  x 2 ) dx  解：由对称性知    10．差分方程 ．  (sin 3 x   2  x 2 )dx 2   2  x 2 dx  0 yt 1  2 yt 2t 【详解】齐次差分方程 的通解为 yt 1  2 yt 0 3 ． 2 ． 的通解为 y C 2 x ； 1 2 设 yt 1  2 yt 2t 的特解为 yt at 2t ，代入方程，得 a  ； 所以差分方程 yt 1  2 yt 2t 的通解为 y C 2t  11．设生产某产品的平均成本 【详解】答案为 平均成本 1  (1  Q)e  Q C (Q) 1  e  Q C (Q) 1  e  Q 1 t t2 . 2 ，其中产量为 Q ，则边际成本为 . ． ，则总成本为 C (Q) QC (Q) Q  Qe  Q ，从而边际成本为 C (Q) 1  (1  Q )e  Q . 12．设函数 f (0, 0) 0 【详解】 f (0, 0) 0 f ( x, y ) ，则 具有一阶连续的偏导数，且已知 ， f ( x, y )  df ( x, y )  ye y dx  x(1  y )e y dy d ( xye y ) ，得 df ( x, y )  ye y dx  x (1  y )e y dy C 0 ，所以 f ( x, y ) xye y ，所以 f ( x, y )  xye y  C ，由 ．  1 0 1  1 2  ， 1 ,  2 ,  3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组   0 1 1   13 ． 设 矩 阵 A  1 A1 , A 2 , A 3 的秩为 ．  1 0 1 【详解】对矩阵进行初等变换 A  1 1 2      0 1 1   4  1 0 1    0 1 1   0 1 1    1 0 1   ，知矩阵 A 的  0 1 1  0 0 0   秩为 2，由于 1 ,  2 ,  3 为线性无关，所以向量组 A1 , A 2 , A 3 的秩为 2． 1 2 14．设随机变量 X 的概率分布为 P  X  2  ， P  X 1 a ， P  X 3 b ，若 EX 0 ，则 DX  ． 【详解】显然由概率分布的性质，知 a  b  1 1 2 1 1 1 EX  2   1a  3 b a  3b  1 0 ，解得 a  , b  2 4 4 9 9 EX 2 2  a  9b  ， DX EX 2  E 2 ( X )  ． 2 2 三、解答题 15．（本题满分 10 分） x 求极限 lim  0 x  0 x  tet dt x3 【详解】令 x  t u ，则 t  x  u , dt  du ， x  lim 0 x  0 x  tet dt x3 x  lim e x  ue  u du 0 x3 x 0 x  0 x x  tet dt  ue x  u du 0 x   lim 0 x  0 ue  u du x3  lim x 0 xe  x 2  3 x 3 2 16．（本题满分 10 分） 计算积分 y3 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界 D y x x D(1  x 2  y 4 )2 dxdy 区域． 【详解】  x y3 y3 dxdy  dx D(1  x 2  y 4 )2 0 0 (1  x 2  y 4 )2 dy   2 4 x d (1  x  y ) 1  dx 0 (1  x 2  y 4 )2 0 4 1   1 1   2  dx  1      4 0  1  x 2 1  2 x 2  8  2  17．（本题满分 10 分） 求 n k  k ln  1   2  n k 1 n lim  n  【详解】由定积分的定义 5