2019考研数学一真题及答案

2019 考研数学一真题及答案 一、选择题，1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的. k 1.当 x  0 时，若 x  tan x 与 x 是同阶无穷小，则 k  A.1. B.2. C.3. D.4.  x x , x 0, f ( x)   x ln x, x  0, 则 x 0 是 f (x) 的 2.设函数 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设  un  是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是  un .  n n  1 A.   C. B. un   n 1  .    1  u n 1  Q ( x, y )  4.设函数 有  ( 1) n1  D. n  u 2 n1 1 un .  un2  n1 . x y 2 ，如果对上半平面（ y  0 ）内的任意有向光滑封闭曲线 C 都 P( x, y )dx  Q( x, y )dy 0 ，那么函数 P( x, y) 可取为 C y A. x2 y3 . 1 1  x y. C. 1 x2  3 B. y y . x D. 1 y. 第 1 页 共 14 页 2 A 4 5.设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵.若 A  A 2 E ，且 ，则二次 T 型 x Ax 的规范形为 A. y12  y22  y32 . B. y12  y22  y32 . C. y12  y22  y32 . D.  y12  y22  y32 . 6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1 x  ai 2 y  ai 3 z d i (i 1,2,3) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则 A. r ( A) 2, r ( A) 3. B. r ( A) 2, r ( A) 2. C. r ( A) 1, r ( A) 2. D. r ( A) 1, r ( A) 1. 7.设 A, B 为随机事件，则 P ( A) P ( B ) 的充分必要条件是 A. P ( A  B ) P ( A)  P ( B ). B. P ( AB) P ( A) P ( B ). C. P ( AB ) P ( B A). D. P ( AB) P ( A B ).   2 P X  Y 1 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N (  , ) ，则 第 2 页 共 14 页 2 A.与  无关，而与  有关. 2 B.与  有关，而与  无关. 2 C.与  ,  都有关. 2 D.与  ,  都无关. 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 1 z 1 z    f (u ) z  f (sin y  sin x )  xy , cosx  x cosy y = 9. 设函数 可导， 则 2 10. 微分方程 2 yy ' y  2 0 满足条件 y (0) 1 的特解 y  ( 1) n n x   ) 内的和函数 S (x)  11. 幂级数 n0 (2n)! 在（0， . .  . 4  x 2  4 z 2 dxdy  2 2 2 x  y  4 z  4 ( z  0 ) 12. 设  为曲面 的上侧，则 z = 13. 设 .  （1， 2， 3）为 3 阶矩阵.若 1， 2 线性无关，且  3  1  2 2 ，则 线性方程组 x 0 的通解为 . x  f ( x)  2  0 14. 设随机变量 X 的概率密度为 X 为 X 的数学期望，则 P F（X） X  1  ,0  x  2 ，其他， F（x）为 X 的分布函数， . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分） ' 设函数 y (x ) 是微分方程 y  xy e （1）求 y (x ) ；  x2 2 满足条件 y (0) 0 的特解. 第 3 页 共 14 页 （2）求曲线 y  y (x ) 的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分 10 分） 2 2 设 a, b 为 实 数 ， 函 数 z 2  ax  by 在 点 （ 3 ， 4 ） 处 的 方 向 导 数 中 ， 沿 方 向 l  3i  4 j 的方向导数最大，最大值为 10. （1）求 a, b ； 2 2 （2）求曲面 z 2  ax  by （ z 0 ）的面积. x 17.求曲线 y e sin x( x 0) 与 x 轴之间图形的面积. 1 18.设 an x n 1  x 2 dx 0 ，n=（0，1，2…） n 1 an  an 2 a  n2 （1）证明数列 n 单调减少，且 （n=2，3…） an n  a n 1 . （2）求 lim 2 2 2 19.设  是锥面 x   y  2  (1  z ) (0  z 1) 与平面 z 0 围成的锥体，求  的形 心坐标. 20.设向量组 1 (1,2,1)T ,  2 (1,3,2)T ,  3 (1, a,3)T ，为 R 3 的一个基，  (1,1,1)T T 在这个基下的坐标为 (b, c,1) . （1）求 a, b, c . 第 4 页 共 14 页 （2）证明 a2 , a3 ，  为 R 3 的一个基，并求 a2 , a3 ,  到 a1 , a2 , a3 的过度矩阵.  2  2 1  2 1 0      A  2 x  2 B 0  1 0  0 0 0 y  0  2    相似 21.已知矩阵 与 （1）求 x, y . 1 （2）求可可逆矩阵 P ，使得 P AP B. 22.设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从参数为 1 的指数分布， Y 的概率分布为 P Y  1  p, P Y 1 1  p, (0  p  1), 令 Z  XY （1）求 z 的概率密度. （2） p 为何值时， X 与 Z 不相关. （3） X 与 Z 是否相互独立? 23.（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为  ( x  u )2  f ( x,  2 )   e  2 2  0 x  , x  , X ，X 2， …X n 来自总体 X 的简 其中  是已知参数，   0 是未知参数，  是常数， 1 单随机样本. 第 5 页 共 14 页 （1）求  ；