2019考研数学二真题及答案

2019 考研数学二真题及答案 一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、当 x 0 时，若 x  tan x 与 x k 是 同阶无穷小量，则 k （ B、2. A 、 1. C、 3. ） D、 4 . 【答案】 C . 【解析】因为 2、曲线 x 3 ，所以 k 3 ，选 C . x  tan x ~  3 3  的拐点是（ ）   －  x   ２  ２ y  x sin x  2 cos x A 、    .  ,   ２ ２ B 、 .  0, 2  C 、   ,  2 . D 、  3 3  . ,    ２ ２ 【答案】 C . 【解析】 ， y  x cos x  sin x y  x sin x ，令 y  x sin x 0 ，解得 x 0 或 x  。 当x   时， y  0 ；当 x   时， y  0 ，所以   ,  2  是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A   0 、   0 x . dx 2 1 x 【答案】 D . xe  x dx . B 、   0 2 xe  x dx . C 、   0 arx tan x . dx 1  x2 D 、 【解析】 A 、 B C 、    0 、  0  0 D、 2 xe  x dx     0   0 0 xe x dx   xde x  xe  x    e  x dx 1 ，收敛； 0 1   x 2 2 1 ，收敛； e dx  2 0 2  arx tan x 1  2 ，收敛； 2 dx  arctan x  0 1  x2 2 8  x 1  1 1 dx   d (1  x 2 )  ln(1  x 2 )  ， 发 散 ， 故 选 2 2 1 x 2 0 1 x 2 0 D。 4、已知微分方程的 y   ay   by ce x 通解为 y (C1  C2 x )e  x  e x ，则 a, b, c 依 次为（ ） A 、 1, 0,1 . B 、 1, 0, 2 . C 、 2,1,3 . D 、 2,1, 4 . 【答案】D. 【 解析 】 由 题设 可知 ( r  1) 2 0 所以 a 2, r  1 是 特征 方程 2 r  ar  b 0 的二 重根 ，即 特征 方程 为 ， b 1 。 又 知 y * e x 是 方 程 y   2 y   y ce x 的 特 解 ， 代 入 方 程 的 c 4 。故选 D 。 5 、 已 知 积 分 区 域  ，  D  x, y  x  y   2  I1  x 2  y 2 dxdy ， D I 2 sin x 2  y 2 dxdy ， D I 3 1  cos x 2  y 2 dxdy ，则（ ） D   A 、 I 3  I 2  I1 . B 、 I 2  I1  I 3 . C 、 I1  I 2  I 3 . D 、 I 2  I 3  I1 . 【答案】 A . 【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。 2 2    【画图发现 x  y  包含在圆 2   的 由 x  y  ，可得 2 x  y 2   x  y 2   2 内 部 】 ， 令  x D 令 2 2  2 u  x2  y2 ， 则 2 ， 于 是 有 0 u  2 u  sin u ， 从 而  y 2 dxdy  sin x 2  y 2 dxdy 。 D f (u ) 1  cos u  sin u ，则 f (u ) sin u  cos u ，  。 在    内单 f ( ) 0 f (u )  0,  4  4 调减少， 在   单 调 增 加 ， 又 因 为  ，故在 f (0)  f ( ) 0 2  ,   4 2   内 ，即 f (u )  0  0,   2 2 2 2 2 1  cos u  sin u ，从而 sin x  y dxdy  (1  cos x  y )dxdy 。综上，选 A 。 D 6、设函数 y  f ( x) f ( x), g ( x) D 的二阶导数在 x a 处连续，则 lim x a f ( x)  g ( x) 是两条曲线 0 2 ( x  a) ， y  g ( x) 在 x a 对应的点处相切及曲率相等的（ ） A 、充分非必要条件. B 、充分必要条件. C 、必要非充分条件. D 、既非充分也非必 要条件. 【答案】 A . 【解析】充分性：利用洛必达法则，由 lim x a lim x a 进而推出 f ( a )  g (a ) f ( x)  g ( x) 可得 0 2 ( x  a) f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) 及 ， 0 lim 0 x  a 2( x  a) 2 ， f (a)  g (a) 相同切线，且由曲率公式 K  y 3 ， f (a )  g (a ) 。由此可知两曲线在 x a 处有 可知曲线在 x a 处曲率也相等，充分性得证。 [1  ( y) 2 ] 2 必要性 ：由曲线 f (a ) g (a) ； y  f ( x) ， y g ( x) 在 x a 处相切，可得 f (a )  g ( a) ， 由曲率相等 当 f (a ) g (a )  3 3 ，可知 f ( a )  g ( a ) 或 f ( a )  g ( a ) 。 2 2 2 2 [1  ( f (a )) ] [1  ( g (a)) ] f (a)  g (a) 时，所求极限 f ( x)  g ( x) f ( x )  g ( x) f ( x)  g ( x ) ，而 未必等于 lim lim  f ( a) f (a ) 2 x a x a ( x  a) 2( x  a) 2 lim x a 0，因此必要性不一定成立。故选 A 。 7、设 A 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0 的基础解系中只有 2 个 向量，则 （ ）。 r ( A* )  A、0 . B 、 1. C、2. D 、3. 【答案】 A . 【解析】因为方程组 Ax 0 的基础解系中只有 2 个向量，，所以 4  r ( A) 2 ，从而 r ( A) 2 4  1 ， 则 0，故选 r ( A* )  8、设 xT Ax A 、 A A 。 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2  A 2 E ,且 A 4 ，则二次型 的规范型为（ ） y12  y22  y32 . B 、 y12  y22  y32 . C 、 y12  y22  y32 . D 、  y12  y22  y32 . 【答案】 C . 【解析】设  是 A 的特征值，根据 A2  A 2 E 得  2   2 ，解得 或  1   2 ；又 因 为 A 4 ， 所 以 的 特 征 值 为 1 ， -2 ， -2 ， 根 据 惯 性 定 理 ， T 的规范型为 A x Ax y12  y22  y32 。故选 C 。 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、 2 x x . lim( x  2 )  x 0 【答案】 【解析】 4e 2 。 2 2 2 lim ln[1( x 2 x  1)] lim( x  2 x ) x lim[1  ( x  2 x  1)] x e x  0 x x 0 x 0 e 10、曲线  x t  sin t 在   y 1  cos t 【答案】 3 2 2 x 2x  1 x 0 x 2 lim e 2(1ln 2) 4e 2 . 3 t   对应点处的切线在 y 轴上的截距为 2 。 . dy sin t  dx 1  cos t 【解析】斜率 3 t 2  1 ， 切 线 方 程 为 y  x  3  2 ， 截 距 为 2 3 。 2 2 11、设函数 f (u ) 可导， y 2 ，则 2 x z  y z  ) x y x z  yf ( 。 2 【答案】 yf  y  .    x  3 2 【解析】 z  y f  y  ,   2 x x  x   y 2  2 y 2  y 2  ， z  y2  z z f   f   2 x  y  yf   ． y x x y  x   x   x   6 12、曲线 y ln cos x (0  x  ) 的弧长为 ． 【答案】 1 ln 3 2 【解析】 ds  1  y2 dx  1  tan 2 xdx sec xdx   1 s 6 sec xdx ln(sec x  tan x) 06  ln 3. 0 2 13、已知函数 x f ( x)  x  1 【答案】 sin t 2 ，则 1 dt 0 f ( x)dx  t 1 (cos1  1) ． 4 【解析】设 x F ( x )  1 sin t 2 ,则 dt t ．