2019考研数学三真题及答案

2019 考研数学三真题及答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上） 1   x cos , 若x 0, f ( x )  x 若x 0,  0, （1）设 其导函数在 x=0 处连续，则  的取值范围是_____. 3 2 2 2 （2）已知曲线 y  x  3a x  b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b ________. a, 若0  x 1, f ( x )  g ( x )  0, 其他， 而 D 表示全平面，则 （3）设 a>0， I   f ( x) g ( y  x)dxdy D =_______. T （4）设 n 维向量  ( a,0,  ,0, a) , a  0 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 1 B  E   T A  E   ， a ， T 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=______. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9,若 Z  X  0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为_____ ___. （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 则当 n   时， Yn  X 1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的简单随机样本， 1 n X i2  n i 1 依概率收敛于______. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）  （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 g ( x)  f ( x) x [] (A)在 x=0 处左极限不存在.(B)有跳跃间断点 x=0. (C)在 x=0 处右极限不存在.(D)有可去间断点 x=0. （2）设可微函数 f(x,y)在点 ( x0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是[] (A) f ( x0 , y ) 在 y  y0 处的导数等于零.（B） (C) f ( x0 , y ) 在 y  y0 处的导数小于零.(D) f ( x0 , y ) f ( x0 , y ) 在 在 y  y0 y  y0 处的导数大于零. 处的导数不存在. （3）设 pn  an  an 2 ，  a (A)若 n 1 (B)若 n 1 n 条件收敛，则 n 1 p 绝对收敛，则 n 1  an n 1  an n 1   pn 绝对收敛，则 n 1 q 与 n 1 n 都收敛.  n  pn  (D)若 n 1 n  条件收敛，则 ， n 1,2,  ，则下列命题正确的是[] 2   n  (C)若 an  an  p  a qn  q 与 n 1 n 都收敛.  q 与 n 1 n 敛散性都不定.  q 与 n 1 n 敛散性都不定.  a b b A   b a b   b b a  （4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有[] (A)a=b 或 a+2b=0.(B)a=b 或 a+2b 0. (C)a b 且 a+2b=0.(D)a b 且 a+2b 0.  ,  , ,  s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是[] （5）设 1 2 (A) 若对 于任 意一 组不 全为 零的 数 k1 , k 2 ,  , k s ， 都有 k1 1  k 2 2    k s s 0 ，则  1 ,  2 , ,  s 线性无关. (B) 若  1 ,  2 ,  ,  s 线 性 相 关 ， 则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k 2 ,  , k s ， 都 有 k1 1  k 2 2    k s s 0. (C)  1 ,  2 ,  ,  s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D)  1 ,  2 , ,  s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次 出现正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件[] (A) A1 , A2 , A3 相互独立.(B) A2 , A3 , A4 相互独立. (C) A1 , A2 , A3 两两独立.(D) A2 , A3 , A4 两两独立. 三、（本题满分 8 分） f ( x)  设： 1 1 1 1   , x  [ ,1). x sin x  (1  x) 2 1 [ ,1] 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 2 上连续. 四、（本题满分 8 分） 1 2 f 2 f g ( x, y )  f [ xy, ( x 2  y 2 )]  2 1 2 2 v 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 u ，又 , 2 g 2 g  2. 2 y 求 x 五、（本题满分 8 分） 计算二重积分 I   e (x 2  y2   ) sin( x 2  y 2 )dxdy. D 其中积分区域 D= {( x, y ) x 2  y 2  }. 六、（本题满分 9 分）  求幂级数 1   ( 1) n n 1 x 2n ( x  1) 2n 的和函数 f(x)及其极值. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在 (  ,) 内满足以下条件： f ( x)  g ( x) ， g ( x )  f ( x) ，且 f(0)=0, f ( x)  g ( x) 2e x . 求 F(x)所满足的一阶微分方程； 求出 F(x)的表达式. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必  存在   (0,3) ，使 f ( ) 0. 九、（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 (a1  b) x1  a 2 x 2  a3 x3    a n x n a x  (a  b) x  a x    a x 2 2 3 3 n n  1 1 a x  a x  ( a  b ) x    a  1 1 2 2 3 3 n xn    a1 x1  a 2 x 2  a3 x3    (a n  b) x n 0, 0, 0, 0, n 其中 a i i 1  0. 试讨论 a1 , a 2 , , a n 和 b 满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分 13 分） 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 )  X T AX ax12  2 x 22  2 x32  2bx1 x3 (b  0) 中二次型的矩阵 A 的 特征值之和为 1，特征值之积为-12. 求 a,b 的值； 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为  1 , 若x  [1,8],  f ( x)  33 x 2 其他;  0, F(x)是 X 的分布函数.求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 2   1  X ~   0.3 0.7  ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 参考答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上） 1   x cos , 若x 0, f ( x )  x 若x 0,  0, （1）设 其导函数在 x=0 处连续，则  的取值范围是   2 . 【分析】当 x 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】当   1 时，有 1 1   1 x cos  x   2 sin , 若x 0, f ( x )  x x 若x 0,  0, lim f ( x) 0  f (0) 显然当   2 时，有 x  0 ，即其导函数在 x=0 处连续. 3 2 2 2 6 （2）已知曲线 y  x  3a x  b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b  4a .  【分析】曲线在切点的斜率为 0，即 y 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根 2 据在切点处纵坐标为零，即可找到 b 与 a 的关系. 【详解】由题设，在切点处有 y  3 x 2  3a 2 0 ，有 x 02 a 2 . 又在此点 y 坐标为 0，于是有 0  x03  3a 2 x 0  b 0 故 , b 2  x02 (3a 2  x02 ) 2 a 2 4a 4 4a 6 . 【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. a, 若0  x 1, f ( x )  g ( x )  0, 其他， 而 D 表 示 全 平 面 ， 则 （ 3 ） 设 a>0 ， I   f ( x) g ( y  x)dxdy D 2 =a . 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 0  x 1,0  y  x 1 时，被积函数才不为零， 因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 = I   f ( x) g ( y  x)dxdy D 1 x 1 1 0 x 0 2 = a  dxdy 0x 1, 0y  x 1 a 2 dx  dy a 2 [( x  1)  x]dx a 2 . 【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数 不为零的区域的公共部分上积分即可. T （4）设 n 维向量  ( a,0,  ,0, a) , a  0 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 1 B  E   T A  E   ， a ， T 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . T 2 【分析】这里  为 n 阶矩阵，而   2a 为数，直接通过 AB  E 进行计算并注意利 T 用乘法的结合律即可. 【详解】由题设，有 1 AB ( E   T )( E   T ) a 1 1 E   T   T   T  T a a =